4. Підбір теоретичного розподілу і його параметрів

Закон теоретичного розподілу підбирається, виходячи з виду гістограми. Спочатку припустимо, що теоретичний розподіл може бути одним з 4-х видів:

1. нормальний;

2. експоненціальний (показниковий);

3. рівномірний;

4. Релеєвський.

Потім (у наступному пункті) виберемо найбільш відповідний із них.

Параметри, що входять у вираз для функції і густини теоретичного розподілу, знайдемо, виходячи з принципу максимуму правдоподібності: так, щоб обчислені по цих параметрах математичне очікування (для 1-параметричних законів) або математичне очікування і дисперсія (для 2-параметричних законів) співпали з вибірковими. Так, для нормального розподілу параметри і беремо рівними відповідно вибірковим математичному очікуванню і дисперсії:

(0)

Для показникового розподілу параметр знаходимо:

(0)

Параметри рівномірного розподілу і будуть рівні:

(0)

Параметр для Релєєвського розподілу рівний:

(0)

Приведемо формули для обчислення функції і густини розподілу. Для нормального розподілу:

(0)

де – інтеграл Лапласа.

Для показникового розподілу:

(0)

Для рівномірного розподілу:

(0)

і для Релеєвського розподілу

(0)

%% 4. Підбір теоретичного розподілу і його параметрів

mx=Mx; sx=Sx; % параметри нормального розподілу

lam=abs(1/Mx); % параметр показникового розподілу

a=Mx-Sx*3^0.5; b=Mx+Sx*3^0.5; % параметри рівномірного розподілу

sig=abs(Mx)*(2/pi)^0.5; % параметр Релеєвського розподілу

s={'нормальний розподіл'; 'показниковий розподіл'; 'рівномірний розподіл'; 'Релеєвський розподіл'}; % заголовки

fprintf('%s: mx=%12.7f; sx=%12.7f\n%s: lam=%12.7f\n',s{1},mx,sx,s{2},lam);

fprintf('%s: a=%12.7f; b=%12.7f\n%s: sig=%12.7f\n',s{3},a,b,s{4},sig);

нормальний розподіл: mx= 5.7526168; sx= 5.2622756

показниковий розподіл: lam= 0.1738339

рівномірний розподіл: a= -3.3619120; b= 14.8671455

Релеєвський розподіл: sig= 4.5899241

Побудуємо на одному графіку теоретичні і емпіричну густини розподілу. Емпірична густина розподілу – це та ж гістограма, у якої масштаб по осі ординат змінений так, щоб площа під кривою стала рівна 1. Для цього всі мітки по осі ординат в гістограмі потрібно розділити на , де – число експериментальних даних, а – ширина інтервалу при побудові гістограми. Теоретичну густину розподілу будуємо по формулах (14-17). Емпіричну густину розподілу малюємо червоною лінією, а передбачувані теоретичні – лініями таких кольорів:

1. нормальний – синій;

2. показниковий (експоненціальний) – зелений;

3. рівномірний – фіолетовий;

4. Релеєвський – жовтий.

%% 4.1 Побудова графіків

[nj,xm]=hist(x,k); % знайшли число попадань і середини інтервалів

delta=xm(2)-xm(1); % ширина інтервалу

clear xfv fv xft ft; % очистили масиви для густини розподілу

xfv=[xm-delta/2;xm+delta/2]; % абсциси для емпіричної f(x)

xfv=reshape(xfv,prod(size(xfv)),1); % перетворили в стовпець

xfv=[xl;xfv(1);xfv;xfv(end);xr]; % добавили крайні

fv=nj/(n*delta); % значення емпіричної f(x) у вигляді 1 стрічки

fv=[fv;fv]; % 2 стрічки

fv=[0;0;reshape(fv,prod(size(fv)),1);0;0]; % + крайні, 1 стовпець

xft=linspace(xl,xr,1000)'; % абсциси для теоретичної f(x)

ft=[normpdf(xft,mx,sx),exppdf(xft,1/lam),unifpdf(xft,a,b),raylpdf(xft,sig)];

col='bgmy'; % кольори для побудови графіків

f2=figure;

plot(xfv,fv,'-r', xft,ft(:,1),col(1), xft,ft(:,2),col(2), xft,ft(:,3),col(3), xft,ft(:,4),col(4)); % малюємо ;-)

title('\bfProbability Density');