18. Показательное распределение.

Случайная величина имеет показательное распределение, если: , где >0.

Например, число вызовов на АТС в течение суток распределено показательно.

Проверим, является ли эта функция функцией плотности. Получим функцию распределения:

Действительно, эта функция является функцией плотности.

Получим функцию распределения: F(x)= = F(x)=

Числовые характеристики.

Математическое ожидание:

M(x)= = + = = = = = = =  M(x)=

Дисперсия: D(x)= -M²(x)= + - = = = - = - = = = - =2· - = =  D(x)=

Среднеквадратичное отклонение:

(x)= =

19. Нормальная случайная величина.

Нормальная случайная величина является одной из самых важных непрерывных случайных величин, так как, все ошибки измерений (размер деталей, взвешивание вещества, химические и физические эксперименты, дальность полета снаряда, меткость при попадании) описываются нормальным законом.

Случайная величина x имеет нормальное распределение, если ее функция плотности имеет вид: , где a,  - параметры, >0.

Убедимся, что функция может быть функцией плотности:

1. f(x)0 – верно.

2. =1: = = = = - интеграл Пуассона и он равен . =1

Действительно, эта функция является функцией плотности.

Математическое ожидание.

Математическое ожидание:

M(x)= = = = = = = = = = =a  M(x)=a

Математическое ожидание НСВ равно a.

Вычислим дисперсию D(x)= -a² – можно показать что дисперсия равна ²  средне квадратичное отклонение НСВ (x)= =

20. Вероятность попадания нормальной случайной вероятности в заданный интервал.

Так как в плотности НСВ непрерывна, то вероятность попадания в интервал можно вычислять через интеграл от функции плотности P(<x<)= подставляя функцию плотности под интеграл и выполнив необходимые преобразования получить следующую формулу: P( x )=Ф( )-Ф( ), где Ф – функция Лапласа Ф(x)=

21. Правило трех сигм.

Рассмотрим вероятности попадания НСВ в интервалы симметричные относительно а (математическое ожидание) с радиусами , 2, 3.

Вероятность P(a-<x<a+)=Ф( )-Ф( )=Ф(1)-Ф(-1)=2·Ф(1)=|по таблице|=2·0,3113=0,6226

P(a-2<x<a+2)=(аналогично)=Ф(2)-Ф(-2)=2·Ф(2)=|по таблице|=2·0,4772=0,9544

P(a-3<x<a+3)=(аналогично)=2·Ф(3)=(по таблице)=2·0,49865=0,99730

Вывод: Так как вероятность близка к 1, то практически все значения НСВ по вероятности будут попадать в интервал с центром в точке а (математическое ожидание) и радиусом 3. Вероятность того, что НСВ примет значение отстоящее от а (математического ожидания) на расстоянии больше чем 3 практически равна нулю.