Свойства дисперсии.

D(C)=0 (Дисперсия константы равна 0)

xi2	Сi2
pi	1

Для x=C: M(C)=C Составим ряд распределений M(C²)=C². По формуле вычисления дисперсии D(C)=M(C²)-M²(C)=C²–C²=0

D(Cx)=C²D(x) (константа выносится за знак дисперсии возводясь в квадрат) D(Cx)=M(C²x²)-M²(Cx)= =C²[ ]=C²[M(X²)- -M²(X)]=C²D(X)

D(x+y)=D(x)+D(y)(если случайные величины x и y независимы)

D(xy)=D(x)D(y) (если случайные величины x и y независимы)

Среднее квадратичное отклонение.

Средней квадратичным отклонением случайной величины называют корень квадратный из дисперсии: (x)=

15. Биноминальной распределение, ее числовые характеристики.

Проводится серия n независимых одинаковых испытаний. Событие А наступает в каждом испытании с одинаковой вероятностью p. Дискретная случайная величина Х – число появлений события А в серии из n испытаний. Такая случайная величина называется биноминальной или имеющей биноминальное распределение.

Значения биноминальной случайной величины – это числа от 0 до n, а соответствующие вероятности вычисляются по формуле Бернулли: P_n(k)=C_n^k p^kq^n-k

Закон распределения биноминальной случайной величины имеет вид:

xi	0	1	2	…	n
pi	Pn(0)	Pn(1)	Pn(2)	…	Pn(n)

Числовые характеристики биноминальной случайной величины.

xi	0	1
pi	q	P

Пусть x биноминальная случайная величина. Введем вспомогательные случайные величины x_i – число появлений события А в отдельном i испытании. Закон распределения каждой случайной величины х_i имеет вид:

Тогда M(x_i)=0q+1p=p

D(x_i)=M(x_i²) – M²(x_i)=0²q+1²p–p²=p-p²=p(1-p)=pq

Для исходной биноминальной случайной величины математическое ожидание и дисперсия имеют следующий вид: M(x)=M( )=np (так как слагаемых n штук) D(X)=D( )=npq

16. Непрерывные случайные величины. Связь между плотностью распределения и функцией распределения.

Определение. Случайной величиной называется непрерывной, если она имеет непрерывную функцию распределения, то есть значения непрерывной случайной величины целиком заполняют конечный или бесконечный интервал на числовой оси.

Помимо функции распределения непрерывную случайную величину можно задавать функцией плотности распределения (функция плотности вероятности).

- функция плотности.

- функция распределения (интегральная).

- функция плотности (дифференциальная).

Способы задания для ДСВ.

Закон распределения							Функция распределения
xi	x1	x2	…			F(x)=P(X<x)
pi	p1	p2	…

Способы задания для НСВ.

Функция распредения	Функция плотности
F(x)=P(X<x)	f(x)=F(x)

Свойство функции плотности.

Так как F(x) неубывающая  f(x)=F’(x)0

Числовые характеристики НСВ.

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Среднеквадратичное отклонение: (x)=

Если все значения НСВ находятся на интервале (a, b), то математическое ожидание: (a, b)  M(x)= D(x)=

Связь между функцией плотности и функция распределения.

Если известна функция распределения F(x), то можно найти функцию плотности: F(x) f(x)=F’(x)

Если известна функция плотности f(x), то можно найти функцию распределения следующим образом: f(x)  F(x)=

Покажем: F’(x)=( )’=(F(x) )’=(F(x)-F(-))’=F’(x)=f(x)

F(x)=

17. Равномерная случайная величина.

Равномерной случайной величиной называют непрерывную случайную величину принимающую значение равное const в некотором интервале. Функция плотности равномерной случайной величины имеет вид: =

Выясним смысл const. Для этого используем свойство функции плотности. =1 + + = =Cb-a=1  С=

Для равномерной случайной величины функция плотности имеет вид.

Функция распределения:

Для равномерной случайной величины числовые характеристики: , ,