Свойства математического ожидания.

Математическое ожидание константы равно самой константе, М(C)=C

xi	С
pi	1

1) Константу можно рассматривать как случайную величину принимающую значение равное самой константе с вероятностью равной 1, а все остальные значения с вероятностью равною 0. Тогда закон распределения имеет вид:

По определению математического ожидания:

М(x)=  М(С)=С1=С

Определение: Суммой двух случайных величин x и y называется случайная величина z=x+y значение которой есть всевозможные пары x_i+y_i , а соответствующие вероятности p_i·q_i , где p_i – вероятность того, что случайная величина Х принимает значение равное x_i (p_i=P(X=x_i)), а q_i=P(Y=y_i).

Определение: Произведением двух случайных величин x и y называется случайная величина z=xy значение которой, есть всевозможные пары x_i y_i , а соответствующие вероятности p_iq_i (значения будут находиться среди пар, а вероятности все равно перемножаем).

2) Если x и y независимые величины, то математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий. М(X+Y)=M(X)+M(Y).

Для краткости доказательства приведем пример если X и Y принимают по два значения. p_i=1, q_i=1

Составим закон распределения для суммы X+Y

xi x1 x2 pi p1 p2

yi y1 y2 qi q1 q2

xi+yi x1+y2 x1+y1 x2+y1 x2+y2 pi  qi p1  q2 p1  q1 p2  q1 p2  q2

М(X+Y)=(x₁+y₁)p₁q₁+(x₁+y₂)p₁q₂+(x₂+y₁)p₂q₁+(x₂+y₂)p₂q₂₌x₁p₁(q₁+q₂)+x₂p₂(q₁+q₂)+y₁q₁(p₁+p₂)+y₂q₂(p₁+p₂)=x₁p₁+x₂p₂+y₁q₁+y₂q₂=M(X)+M(Y)

3) Если случайные величины X и Y независимы, то мат. ожидание произведения двух случайных величин равно произведению математических ожиданий.

xi  yi	x1  y2	x1  y1	x2  y1	x2  y2
pi  qi	p1  q2	p1  q1	p2  q1	p2  q2

М(X·Y)=x₁y₁p₁q₁+x₁y₂p₁q₂+x₂y₁p₂q₁+x₂y₂p₂q₂₌x₁p₁(y₁q₁+y₂q₂)+x₂p₂(y₁q₁+y₂q₂)= =(y₁q₁+y₂q₂)(x₁p₁+x₂p₂)=M(X)M(Y)

Следствие из этого свойства: Константу можно выносить за знак математического ожидания.

14. Дисперсия и ее свойства.

Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения этой случайной величины от ее математического ожидания: D(X)=M([X-M(X)]²).

Определение дисперсии неудобно для вычисления дисперсии и ,исходя из определения и свойств математического ожидания, выводим формулу для вычисления дисперсии.

D(X)=M(X²–2XM(X)+M²(X))=M(X²)–2M(X)M(M(X)+M(M²(X))=M(X²)-M²(X)

M(M/X)+M(M²(X) – константа

D(X)=M(X2)-M2(X)

– формула для вычисления дисперсии.

xi	С
pi	1

Если х дискретная случайная величина, то ее дисперсия вычисляется по формуле D(X)=