8. Полная группа событий. Формула полной вероятности.

Пусть дана полная группа несовместных событий (H₁,H₂ … H_n) которую будем называть гипотезами. Пусть событие А происходит вместе с одной из гипотез, следовательно событие А можно представить в следующем виде: A=H₁A+H₂A+ H₃A+ …+H_nA  P(A)= ; - полная группа.

9. Формула Байеса.

Пусть дана полная группа несовместных событий (гипотез). Событие А происходит с одной из гипотез, тогда по формуле полной вероятности P(A)= . Пусть событие А уже произошло, очевидно что, вероятности каждой гипотезы изменяется и есть смысл пересчитать условные вероятности (P(H_i)/A). Условная вероятность i-й гипотезы при условии, что событие А уже наступило. Найдем вероятность произведения AH_i(зависимое): P(AH_i)=P(H_i)P(A/H_i)=P(A)P(H_i/A). Из последнего равенства следует: - формула Байеса.

Замечание: Знаменатель в формуле Байеса – полная вероятность события А, числитель – соответствующее слагаемое из формулы полной вероятности.

10. Формула Бернулли. Серия одинаковых и независимых испытаний.

Описание схемы Бернулли: проводится серия n-одинаковых независимых испытаний, в каждом из которых событие А наступает с постоянной вероятностью p. Например: монета бросается 10 раз, событие А – выпадет решка при одном подбрасывании. Вероятность события А: p=1/2.

Вероятность того, что в серии из n одинаковых испытаний событие А появиться ровно k раз, вычисляется по формуле Бернулли: P_n(k)=C_n^k p^kq^n-k, где q=1-p.

Доказательство. Пусть событие В - наступило k раз событие А. Вероятность события В зависит от того, наступило или не наступило событие А в каждом отдельном испытании. Введем вспомогательное событие A_i – А наступило в i испытании и - А не наступило в i испытании. Представим событие В с помощью вспомогательных событий:

B=A₁A₂ … A₂ … +A₁A₂ …A_{k-1 k}A_{k+1 k+2}… _n…A₁A₂… _n-kA_n-1+1…A_n

В каждом слагаемом ровно k множителей без черточки и n-k множителей с черточкой. Вероятность каждого слагаемого p^kq^n-k, всего слагаемых C_n^k  P(B)=C_n^k p^kq^n-k

Замечание. Формулой Бернулли можно пользоваться, когда число испытаний n невелико. Если же число испытаний велико, то вероятности по схеме Бернулли вычисляются приближенно с помощью локальной и интегральной теорем Лапласа.

11. Локальная и интегральная теорема Лапласа.

Локальная теорема Лапласа.

Проводится серия n одинаковых независимых испытаний (n велико), в каждом из которых вероятность появления события А постоянно и равно p. Вероятность того, что событие А наступит ровно k раз вычисляется приближенно: , значение функции (x) находится в таблицах от 0 до 4,функция , (x)–четная, то есть . Если .

Интегральная теорема Лапласа.

Проводится серия n одинаковых независимых испытаний (n велико), в каждом из которых событие А наступает с одинаковой вероятностью p. Вероятность того, что событие А наступит не менее k₁ раз и не более k₂ раз вычисляется приближенно по формуле: ,

где , , функция Лапласа Ф(х)= , значения функции Ф(х) находятся в таблицах от 0 до 5, Ф(-х)=-Ф(х).Если

12. Дискретные случайные величины. Закон распределения. Функция распределения и ее свойства.

Если переменная величина принимает свои значения с определенными вероятностями, то она называется случайной, обозначается x,y,z.

Разделяют случайные величины на

1. дискретные: случайная величина х называется дискретной, если дискретно ее множество значений (значения ДСВ – отдельные точки на числовой прямой). Множество значений ДСВ либо конечно, либо счетно (можно перенумеровать).

2. непрерывные: случайная величина называется непрерывной, если она имеет непрерывную функцию распределения, то есть значения непрерывной случайной величины целиком заполняют конечный или бесконечный интервал на числовой оси.

Способы задания ДСВ:

Закон распределения: таблица, содержащая значения по возрастанию x_i и p_i, причем сумма вероятностей равна 1.

Функция распределения: F(x) – P(X-x), причем значения функции распределения – это вероятность того, что случайная величина х примет значения меньше, чем аргумент функции распределения.

Способы задания НСВ:

Функция распределения

Функция плотности (функция плотности вероятности).

Дискретные случайные величины.

Случайная величина х называется дискретной, если дискретно ее множество значений (значения ДСВ – отдельные точки на числовой прямой). Множество значений ДСВ либо конечно, либо счетно (можно перенумеровать).

Дискретная случайная величина задается функцией распределения и законом распределения.

Свойства функции распределения.

0F(x)1 (ограничена 0 и 1 по определению вероятности)

F(x) – неубывающая

F(-)=0; F(+)=1

P(<x)=F() – F() вероятность попадания в полуинтервал (,]

13.Числовые характеристики.

К числовым характеристикам ДСВ или НСВ относятся: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение.

Математическое ожидание. Свойства математического ожидания.

Математическое ожидание.

Пусть дискретная случайная величина задана законом распределения.

			…
			…

Математическим ожиданием ДСВ называется число равное и обозначается M(x).

Замечание 1. M(x) – среднее ожидание значения случайной величины.

Замечание 2. Если случайная величина принимает конечное число значений, то ее математическое ожидание конечное число. В случае бесконечного числа значений М(x) не вычисляется.