4. Геометрическое определение вероятности.

Вероятность того, что точка, наудачу брошенная в отрезок длиной L попадает в отрезок длиной l , содержащийся внутри большого отрезка, вычисляется по формуле P=l/L – формула геометрической вероятности на прямой.

Вероятность того, что точка, наудачу брошенная в фигуру площадью S, попадет в фигуру площадью s, содержащуюся внутри большой фигуры ,вычисляется по формуле P=s/S – геометрическая вероятность на плоскости.

Вероятность того, что точка, наудачу брошенная в тело объемом V попадет в тело объемом v содержащаяся внутри большого тела вычисляется по формуле P=v/V – формула геометрической вероятности в пространстве.

5. Сумма и произведение событий. Противоположные события.

Определение: Сумой двух событий А и В называется событие С состоящее в наступление хотя бы одного из событий А или В. А+В=С. в русском языке сумме двух событий соответствует слово ИЛИ, причем его смысл не носит исключающий характер.

Аналогично можно ввести понятие суммы конечного числа событий.

Определение: произведением двух событий А и В называется событие С состоящее в наступлении как события А, так и события В. А·В=С. В русском языке произведению двух событий соответствует слово И.

Определение: Событием противоположным событию А называется событие состоящее в не наступлении события А. А – событие, - противоположное событие. Событие А и не совместные и образуют полную группу.P(A+ )=1.

6. Теоремы сложения вероятностей.

1. Вероятность суммы двух несовместных событий равно сумме вероятностей этих событий. Р(А+В)=Р(А)+Р(В) (для несовместных).

 Пусть общее число исходов испытаний в котором могут появиться события А и В равно n. Число благоприятствующих исходов для события А равно m₁, для В равно m₂.

2. Вероятность суммы двух совместных событий равно сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления. P(A+B)=P(A)+P(A)- P(AB) (для совместных).

 Пусть m общее число исходов в испытании. Число благоприятных исходов для события А – m₁, для события В – m₂, AB=k, А+В=m₁+m₂-k. Тогда по формуле классической вероятности P(A+B)=(m₁+m₂-k)/n=m₁/n+m₂/n–k/n=P(A)+P(B)-P(AB).

7. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей.

Условной вероятностью события В при условии ,что произошло событие А , называется отношение вероятности произведения этих событий к вероятности события А, причем P(A) ,обозначается символом P(B/A).

Событие А называется независимым от события В, если его условная вероятность рана безусловной, т.е. если выполняется равенство

P(A/B)=P(A).

1. Если событие А и В независимы, то вероятность произведения А и В равна вероятности произведения этих событий: Р(АВ)=Р(А)Р(В)

Доказательство. Пусть n общее число исходов испытания, число благоприятствующих событий для А m₁, для В m₂, тогда P(A)=m₁/n, P(B)=m₂/n. Так как событие А и В не зависимы, то множество их благоприятных исходов не пересекаются.

P(AB)=(m₁m₂)/n², так как произведено два испытания. P(AB)=m₁/n·m₂/n=P(A)P(B).

2. Если событие А и В зависимы, то вероятность P(AB)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B).

Теорема для любых трех зависимых событий выглядит сложнее: P(ABC)=P(A)P(B/A)P(C/AB).