Министерство образования и науки российской федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Волгодонский инженерно-технический институт - филиал НИЯУ МИФИ

КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ

по дисциплине «Дополнительные главы математики»

3 семестр для студентов заочной формы обучения

направления Менеджмент

«Теория вероятностей»

Волгодонск

1. Элементы комбинаторики п ринцип произведения.

Рассмотрим задачу: Сколькими способами можно доехать из пункта А в пункт В через пункт С, если из А в С ведут три дороги, а из С в В две дороги.

Введем обозначение: n – число способов. рис.

n= 2 3 = 6 (вариантов).

Пример: В магазине 7 видов ручек и 5 видов блокнотов. Сколько различных подарков, состоящих из ручки и блокнота, можно составить?

n=7  5 =35

Принцип произведения: Если действие (испытание) можно разбить на отдельные этапы, причем число вариантов (исхода) на каждом отдельном этапе известно, то общее число вариантов равно произведению чисел вариантов на каждом этапе.

Если действие А можно осуществить n₁ способами, а действие В n₂ способами, то осуществить действия А и В можно n₁n₂ способами. По решению задачи слову И соответствует знак умножения.

Пример: Сколько всего трехзначных чисел?

n=91010=900 по принципу умножения комбинаторности.

Сколько пятизначных чисел делящихся на пять?

n=91010102=18000

Принцип сложения.

Если действие А можно осуществить n₁ способами, а действие В можно осуществить n₂ способами, то осуществить действия А или В можно n₁+n₂ способами.

По решению слову ИЛИ соответствует знак сложения.

Пример: В ящике 6 белых, 3 черных и 7 красных шаров. Сколькими способами можно вынуть один шар?

n=6+3+7=16 по принципу сложения комбинаторики.

Перестановки.

Пусть дано множество, состоящее из n-элементов. Множества, состоящие из этих же элементов, но отличающиеся порядком вхождения этих элементов, называется перестановками данного множества.

Рассмотрим множество из трех элементов {1;2;3}. Составим все перестановки данного множества: {1;3;2}{2;1;3}{2;3;1}{3;1;2}{3;2;1}, само множество тоже является перестановкой.

В общем случае число перестановок множества, состоящего из n-элементов, обозначается символом P_n . Число перестановок не зависит от характера элементов, а зависит от их количества.

Составить перестановки множества означает, что нужно произвести действие, состоящее из n-этапов, то есть один за другим в некотором порядке выписать все n-элементы множества.

По принципу произведения комбинаторики:

P_n =n(n-1)  (n-2)…1=n! P_n=n!

Пример: Сколькими способами можно расставить 6 книг на книжной полке?

Пример: Сколькими способами можно рассадить четырех гостей за круглым столом?

Размещения.

Пусть дано множество, состоящее из n-элементов. Выберем из него упорядоченные подмножества, состоящее из m элементов. Такие подмножества называются размещениями данного множества из n по m.

Пример: Возьмем множество, состоящее из 3^х элементов. Составим все размещения данного множества по два элемента в каждом.

{1,2,3}: {1;2}{1;3}{3;1}{2;3}{3;2}, получилось шесть размещений по два элемента в каждом.

Число размещений из n по m обозначается , где n – число элементов множества (объем совокупности), m - где n – число элементов подмножества (объем выборки).

Составить размещение из n-элементов по m, значит произвести действия, состоящие из m этапов.

=n(n-1)…(n–m+1)=

- число размещений из n по m.

Пример: Сколькими способами можно выбрать из 20 студентов 3^х дежурных так чтобы один из студентов был старшим?