Решение.
Поскольку вторая производная функции f ´´(x) = 2х 6 = 2(х 3) обращается в нуль при х = 3 и меняет знак при переходе через это значение, то х = 2 абсцисса точки перегиба. Ордината этой точки у =f(3) = 7, т.е. М(3, 7), точка перегиба графика функции.
Так как f ´´(x) < 0 при х < 3 и f ´´(x) > 0 при х > 3, то график функции является вогнутым вверх на интервале (∞, 3) и вогнутым вниз на интервале (3, +∞).
3. Асимптоты графика функции
Определение
3.
Говорят,
что прямая
x = a
является
вертикальной
асимптотой
графика функции y
= f (x),
если хотя бы
одно из предельных значений
f (x)
или
f (x)
равно
± ∞.
Из данного определения следует, что вертикальная асимптота существует в точке разрыва функции или на концах области определения.
Определение 4. Прямая y = kx + b называется наклонной асимптотой графика функции y = f (x) при x→ ± ∞, если функция представима в виде
f(x) = kx + b + α(x), (4)
где α(x) → 0 при x→ ± ∞.
Теорема 7. Для того, чтобы график функции y = f (x) при x→ + ∞ (x ∞) имел наклонную асимптоту y = kx + b необходимо и достаточно, чтобы существовали два предельных значения
k
=
и b =
(f (x)
kx) (5)
(k
=
и b =
(f (x)
kx)).
Доказательство.
Необходимость. Пусть график функции y = f (x) имеет наклонную асимптоту y = kx + b при x → +∞, тогда f (x) можно представить в виде f (x) = kx + b + α(x), где α → 0, при x → +∞. Следовательно,
= = (k + + ) = k,
(f (x) – kx) = (b + α(x)) = b.
Достаточность. Пусть существуют пределы вида (5). Тогда, по свойству предела функции, f (x) – kx – b = α (x), где α (x) – бесконечно малая функция при x→+∞, а это и есть определение наклонной асимптоты.
В случае x→ ∞ доказательство аналогично.
Замечание 1. Если пределы вида (5) существуют при х , то у функции существует наклонная асимптота y = kx + b и при х , и при х +.
5. Схема полного исследования функции
Найти область определения функции.
Найти нули функции, т.е. решить уравнение f (x) = 0. Корни этого уравнения и точки разрыва функции разбивают область определения функции на промежутки знакопостоянства.
Находим точки пересечения функции с координатными осями.
Установить, является ли функция четной, нечетной, периодической. Если функция нечетная, то график данной функции симметричен относительно начала координат. График четной функции симметричен относительно оси ОУ.
Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва функции и установить их вид.
Изучить поведение функции при стремлении аргумента к концам промежутков области определения. Ответить на вопрос: существуют ли вертикальные и наклонные асимптоты функции?
Исследовать функцию с помощью первой производной (найти промежутки возрастания и убывания функции и точки экстремума).
Исследовать функцию с помощью второй производной (найти промежутки выпуклости, вогнутости, точки перегиба).
Построить график функции.
Пример 5. Исследовать функцию f (x) = и построить ее график.