Решение.

По теореме (5) получим

Р = 2 sin x dx = 2 d cos x =

= 2 ( + ln |cos x + |) =

=  ( + ln (1 + )).

§ 4.4. Некоторые физические приложения определеннго интеграла

1. Масса и центр тяжести

Масса неоднородного стержня и неоднородной кривой. Рассмотрим неоднородный стержень, расположенный на отрезке [a, b] оси ОХ. Пусть (х)  линейная плотность стержня. Разобьем отрезок [a, b] точками

a = x₀ < x₁ < x₂ < …< x_n = b

на части длины x_k = x_k x_k_₁.Выберем на каждом частичном отрезке [x_k_₁, x_k] точку  _k и предположим, что стержень на этом отрезке имеет постоянную плотность (_k), тогда масса части стержня на отрезке [x_k_₁, x_k] равна (_k) x_k . Сумма (_k)x_k представляет собой приближенное значение массы стержня. Точное значение массы стержня М находится как предел таких сумм при   0 ( = max  х_k). Если (х)  интегрируемая на отрезке [a, b] функция, то сумма (_k)x_k является интегральной суммой для этой функции и

M = (_k)x_k = (x) dx. (1)

Замечание. Пусть простая кривая L задана параметрически уравнениями x =  (t) и y =  (t) (t [, ]) и пусть (х, у) = ( (t),  (t))  линейная плотность кривой в точке (х, у)  L. Тогда масса кривой L находится по формуле

M = dt. (2)

Если кривая L задана уравнением в декартовых координатах у = f (x) (х  [a, b]), то масса кривой вычисляется по формуле

M = dх. (3)

Центр тяжести неоднородного стержня. Для нахождения центра тяжести неоднородного стержня воспользуемся формулой для координат центра тяжести системы {m_k(x_k)} (k = 0, 1, …, n) материальных точек, имеющих массы m_k и расположенных в точках x_k оси ОХ. Координата х_с центра тяжести системы может быть найдена по формуле

х₀ = = . (4)

Разобьем отрезок [a, b] точками a = x₀ < x₁ < x₂ < …< x_n = b на части и найдем массу m_k части стержня на отрезке [x_k_₁, x_k]. По формуле (1) m_k = (x) dx. Пусть (х)  непрерывная на отрезке [a, b] функция, По теореме о среднем m_k = (x) dx = (_k)x_k. Считая, что масса m_kсосредоточена в точке _k  [x_k_₁, x_k], мы можем рассматривать неоднородный стержень как систему материальных точек с массами m_k, расположенных в точках _k отрезка [a, b]. Так как

m_k= (x) dx = (x) dx = М,

то по формуле (2) найдем приближенное значение для координаты х_с центра тяжести неоднородного стержня

х₀ ≈ .

Сумма представляет собой интегральную сумму для функции х(х) на отрезке [a, b]. Эта функция непрерывна, следовательно, интегрируема на этом отрезке, тогда = х(x) dx. В этом случае координаты центра тяжести неоднородного стержня находятся по формуле

х₀ = . (5)

Статические моменты и координаты центра тяжести плоской кривой.

Статические моменты кривой L, заданной параметрически уравнениями x =  (t) и y =  (t) (t [, ]), относительно координатных осей в случае постоянной линейной плотности   1 находятся по формулам