3. Площадь поверхности вращения
Р
ассмотрим
поверхность (П)
образованную вращением вокруг оси ОХ
графика функции у = f (x)
заданной на
отрезке [a, b].
Определим понятие квадрируемой
поверхности вращения (П).
Разобьем отрезок [a, b]
произвольными точками a
= x0
< x1
< x2
< …< xn
= b
на n
отрезков [x0, x1],
[x1, x2],
…, [xk
–
1, xk],
…, [xn – 1, xn].
Пусть точки А0,
А1,
А2,
..., Аk 1,
Аk,
…, Аn
соответствующие
точки графика функции f (x).
Построим ломаную А0 А1 ... Аn.
При вращении этой ломаной вокруг оси
ОХ
получим поверхность (Р),
составленную из боковых поверхностей
усеченных конусов. Обозначим через
Р (xk)
площадь поверхности (Р).
Если
yk
= f (xk),
а lk
длина звена
Аk 1
Аk
ломаной А0 А1 ... Аn,
то
Р (xk) = (yk 1 + yk) lk. (4)
Сформулируем следующие определения.
Определение 2. Число П называется пределом площадей Р(xk) при 0 ( = max хk),, если для любого > 0 можно указать такое число > 0, что для любого разбиения отрезка [a, b], для которого < , выполняется неравенство |Р(xk) П| < .
П = Р(xk).
Определение 3. Поверхность (П) называется квадрируемой, если существует конечный предел П площадей Р(xk). При этом число П называется площадью поверхности (П).
Теорема 5. Если на отрезке [a, b] функция f (x) имеет непрерывную производную f ´(x), то поверхность (П), образованная вращением графика этой функции вокруг оси ОХ, является квадрируемой, и ее площадь может быть вычислена по формуле
Р
= 2
f (x)
dx.
(5)
Доказательство. Разобьем отрезок [a, b] точками
a = x0 < x1 < x2 < …< xn = b
на части длины xk = xk xk 1. Этим точкам отвечают вершины ломаной А0, А1, ..., Аk 1, Аk, …, Аn.
Пусть уk приращение функции y = f (x) на отрезке [xk 1, xk]. Тогда, длина lk звена Аk 1Аk ломаной А0А1...Аk 1Аk…Аn, вписанной в дугу , равна lk = . Так как функция f (x) дифференцируема на каждом частичном отрезке [xk 1, xk], то по теореме Лагранжа существует такая точка сk [xk 1, xk], что yk = f ´(сk) xk и значит
lk = .
Тогда, согласно (4),
Р (xk) = (yk 1 + yk) lk =
=
(yk 1 f (сk)
+ yk
f (сk) + 2f (сk)) lk
= 2
f (сk)
+
+ ((yk 1 f (сk)) + (yk f (сk))) .
Первая сумма в правой части этого равенства представляет собой интегральную сумму функции 2f (x) , которая является непрерывной, а, следовательно, интегрируемой на отрезке [a, b] функцией . Тогда предел этой суммы при 0, равен Р = 2 f (x) dx. Докажем, что вторая сумма правой части имеет предел, равный нулю. Пусть произвольное положительное число. Так как функция f (x) равномерно непрерывна на отрезке [a, b], то по данному > 0 можно указать такое > 0, что при < выполняются неравенства |yk 1 f (сk)| < и |yk f (сk)| < . Так как функция непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке. Пусть М наибольшее значение этой функции на отрезке, тогда сумма
| ((yk 1 f (сk)) + (yk f (сk))) | <
< 2M хk = 2M(b a).
В силу произвольности > 0 предел указанного выражения равен нулю. Следовательно Р (xk) = Р = 2 f (x) dx.
Замечание. Если поверхность (П) получается при вращении вокруг оси ОХ кривой L, заданной параметрически уравнениями x = (t) и y = (t) (t [, ]), то площадь этой поверхности может быть найдена по формуле
Р =
2
(t)
dt.
Пример 2. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси ОХ графика функции y = sin x, 0 х .