§ 4.3. Объем тел

И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ

1. Понятие объема тел. Кубируемые тела

Пусть дано тело (V) произвольной формы, т.е. ограниченная замкнутая область в трехмерном пространстве. Пусть границей (S) тела (V) служит замкнутая поверхность (или несколько замкнутых поверхностей).Введем понятие объема этого тела, опираясь на понятие объема многогранников.

Вписанным в тело (V) многогранником будем называть многогранник, все точки которого принадлежат телу (V) или его границе. Описанным около тела (V) многогранником будем называть многогранник, которому принадлежат все точки тела (V) и его границы.

Будем рассматривать многогранники (Х) объема Х, вписанные в тело (V), и многогранники (У) объема У, описанные около тела (V). Множество {X} объемов Х ограничено сверху, следовательно, существует точная верхняя граница V_ этого множества. Аналогично, существует точная нижняя граница V ^ множества {Y} объемов У. При этом, выполняется неравенство V_  V ^.

Определение 1. Если обе величины V_ = sup {X} и V ^ = inf {Y} совпадают, т.е.

V_ = V ^= V, (1)

то их общее значение V называется объемом тела (V).

В этом случае тело (V) называется кубируемым.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Для того, чтобы тело (V) было кубируемым, необходимо и достаточно, чтобы для любого  > 0 нашлись такие два многогранника (Х) и (У) (соответственно вписанный в тело (V) и описанный около тела (V)), для объемов которых выполнялось бы неравенство У  Х < .

Теорема доказывается аналогично теореме 1 § 4.2.

Для объемов формулируются теоремы, аналогичные теоремам 2, 3, 4 предыдущего параграфа.

Теорема 2. Для того, чтобы тело (V) было кубируемым, необходимо и достаточно, чтобы существовали две такие последовательности многогранников {(Х_n)} и {(У_n)}, соответственно вписанных в (V) и описанных около (V), объемы которых имеют общий предел

X_n = Y_n = V.

В этом случае объем тела (V) равен V.

Теорема 3. Для того, чтобы тело (V) было кубируемым, необходимо и достаточно, чтобы существовали две такие последовательности кубируемых тел {(Q_n)} и {(R_n)}, соответственно вписанных в (V) и описанных около (V), объемы которых имеют общий предел

Q_n = R_n = V.

В этом случае объем тела (V) равен V.

Теорема 4 (свойство аддитивности объема). Пусть тело (V) каким либо образом разделено на два тела (V₁) и (V₂), тогда из кубируемости двух из трех тел (V), (V₁) и (V₂) следует кубируемость третьего тела, и выполняется равенство

V = V₁ + V₂.

2. Нахождение объемов тел

Объем цилиндрических и ступенчатых тел. Будем называть цилиндрическим тело, ограниченное цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными некоторой оси, и двумя плоскостями, перпендикулярными этой оси. Эти плоскости, пересекаясь с цилиндрической поверхностью, образуют плоские фигуры, которые называются основаниями цилиндрического тела, а расстояние Н между основаниями называется высотой цилиндрического тела.

Рассмотрим цилиндрическое тело, основанием которого служит квадрируемая фигура (Р). Докажем, что это тело является кубируемым и его объем находится по формуле

V = НP, (2)

где H  высота цилиндрического тела, P  площадь основания.

Доказательство. Так как фигура (Р) квадрируема, то существуют две последовательности многоугольников {(A_n)} и {(B_n)}, вписанных и описанных около фигуры (Р), для площадей которых выполняется равенство

А _n= В_n = Р

(теорема 2, § 4.2).

Построим на этих многоугольниках прямые призмы (Х_n) и (У_n) высоты Н, тогда их объемы находятся по формулам

Х_n = А_nН и У_n = У_n Н.

Рассмотрим пределы

X_n = Н А_n = НР и У_n = Н В_n = НР.

Так как Х_n =  У _n= НР, то, то по теореме 3 этого параграфа, рассмотренное нами цилиндрическое тело является квадрируемой фигурой и его объем находится по формуле (2).

Из доказанного утверждения вытекает кубируемость ступенчатых тел, т.е тел, полученных объединением конечного числа цилиндров, расположенных так, что верхнее основание каждого предыдущего цилиндра находится в одной плоскости с нижним основанием каждого последующего.

О бъем тел вращения. Пусть функция у = f (x) непрерывна на отрезке [a, b]. Тело (V), образованное вращением вокруг оси ОХ криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f (x), прямыми х = а, х = b и осью ОХ, называется телом вращения (рис 7). Докажем, что это тело кубируемо и его объем можно найти по фомуле

V =  f ²(x) dx. (3)

Доказательство. Разобьем отрезок [a, b] произвольными точками a = x₀ < x₁ < x₂ < …< x_n = b на n отрезков [x₀, x₁], [x₁, x₂], …, [x_k – 1, x_k], …, [x_n  1, x_n]. На каждом из частичных отрезков [x_{k – 1}, x_k] найдем наибольшее M_k и наименьшее m_k значение функции y = f (x). Обозначим эти значения через M_k и m_k соответственно. На каждом из этих отрезков построим два прямоугольника с высотами M_k и m_k (на рис. 7 изображены прямоугольники только на одном отрезке [x_k  1, x_k]). Мы получили две ступенчатых фигуры, одна из которых вписана в криволинейную трапецию, а вторая описана около нее. При вращении криволинейной трапеции и этих ступенчатых фигур вокруг оси ОХ получим тело (V) и два ступенчатых тела (Q) и (R), одно из которых вписано в тело (V), а другое описано около тела (V). Объемы этих ступенчатых тел находятся по формулам

Q =  M x_k; R =  m x_k.

Очевидно, эти выражения представляют собой верхнюю и нижнюю суммы Дарбу для функции  f ²(x). Так как эта функция интегрируема, то для любого  > 0 существует такое  > 0, что при разбиении отрезка [a, b] на части длина которых меньше , выполняется неравенство Q  R <  (теорема 2, § 3.1) и, следовательно,

Q = R =  f ²(x) dx,

где  = max  х_k. Тогда по теореме 3, тело (V) кубируемо, и его объем находится по формуле (3). 