2. Площадь криволинейной трапеции

П усть y = f (x)  положительная и непрерывная функция, заданная на отрезке [a, b]. Рассмотрим криволинейную трапецию aABb, ограниченную графиком данной функции, осью OX и прямыми x = a и x = b.

Докажем, что криволинейная трапеция aABb  квадрируемая фигура и найдем площадь этой фигуры.

Доказательство. Разобьем отрезок [a, b] произвольными точками a = x₀ < x₁ < x₂ < …< x_n = b на n отрезков [x₀, x₁], [x₁, x₂], …, [x_{k – 1}, x_k], …, [x_n – 1, x_n]. Пусть m_k  наименьшее значение функции y = f (x) на отрезке [x_{k – 1}, x_k], М_k  наибольшее значение функции на этом отрезке. Составим верхнюю и нижнюю суммы Дарбу для функции у = f (x) на отрезке [a, b]

s = m_k x_k ; S = M_k x_k .

Так как непрерывная на отрезке [a, b] функция f (x) интегрируема, то по теореме 2, § 3.1, (S  s) =0, или

S = s = f (x) dx,

где  = max  х_k. Значит, для любого  > 0, существует такое  > 0, что при разбиении отрезка [a, b] на части, длины которых меньше , выполняется неравенство S  s < 0.

В то же время, сумма s представляет собой площадь ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников, построенных на отрезках [x_k – 1,  x_k] с высотой m_k. Эта фигура вписана в трапецию aABb. Аналогично, S  площадь ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников, построенных на отрезках [x_{k – 1},  x_k] с высотой M_k, которая описана около трапеции aABb (см. рисунок 2). Тогда, по теореме 1, криволинейная трапеция квадрируема, и площадь Р данной трапеции удовлетворяет неравенству

s < Р < S.

Но обе суммы s и S при   0 имеют своим пределом интеграл f (x) dx, следовательно, ему равна и искомая площадь.

Р = f (x) dx. (1)



З амечание 1. Если функция f (x) непрерывна и неположительна на отрезке [a, b], то значение интеграла f (x) dx равно взятой с отрицательным знаком площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком данной функции и прямыми x = a, x = b. В этом случае справедлива формула

Р =  f (x) dx. (3)

Замечание 2. Рассмотрим криволинейную трапецию ABCD, ограниченную графиками функций y₁ = f₁(x), y₂ = f₂(x) и прямыми x = a и x = b (рис. 3). Ее площадь равна разности площадей двух фигур aDCb и aABb:

P_aDCb  P_aABb = (y₂  y₁) dx = (f₂(x)  f₁(x)) dx.

или

P = (f₂(x)  f₁(x)) dx. (4)

3. Площадь криволинейного сектора

Пусть кривая L задана в полярной системе координат уравнением r = r (),      (рис. 4), причем функция r () непрерывна и неотрицательна на отрезке [, ]. Плоскую фигуру, ограниченную кривой L и двумя лучами, составляющими с полярной осью углы  и , будем называть криволинейным сектором.

Докажем, что криволинейный сектор является квадрируемой фигурой, площадь которой находится по формуле

Р = r ²() d. (5)

Доказательство. Разобьем отрезок [, ] точками

  =   ₀  <   ₁  <  ₂ < … <  _n =.

Это вызовет разбиение криволинейного сектора на частичные сектора лучами, соответствующими углам  ₁,   ₂, …,   _n. Обозначим через m_k и M_k наименьшее и наибольшее значение функции r () на отрезке [ _k  1,  _k]. На каждом частичном криволинейном секторе построим круговые сектора с радиусами m_k и M_k. Получим две веерообразные фигуры, одна из которых вписана в криволинейный сектор, а вторая описана около него.

Площади круговых секторов, соответствующих отрезку [ _k  1,  _k] равны s_k =  m  _k и S_k =  M  _k. Тогда площади веерообразных фигур равны

s = m  _k, S =  M  _k.

Очевидно, что первая из указанных сумм является нижней суммой Дарбу для функции r = r ²(), а вторая  верхней суммой Дарбу для этой функции. Так как функция r = r ²() непрерывна на отрезке [, ], то она интегрируема на этом отрезке, тогда из теоремы 2, § 3.1 и теоремы 3 этого параграфа, а также из определения предела функции по Гейне, следует, что

Р = S = s = r ²() d,

где   наибольшая из длин отрезков разбиения.

(Для того, чтобы получить, упоминающиеся в теореме 3 последовательности, можно построить различные разбиения отрезка [, ] на части так, чтобы выполнялись условия

₁ < ₂ < … <  _n  1 <  _n < …, и  _n = 0,

где  _n  наибольшая из длин отрезков n – го разбиения). 

4. Примеры нахождения площадей

Пример 1. Найти площадь Р фигуры, ограниченной графиками функций у = х² и у = (рис. 5).

Решение.

Найдем точки пересечения графиков функций у = х² и у = . Для этого решим уравнение х² =  . Корнями этого уравнения являются точки х₁ = 0 и х₂ = 1, значит графики функций пересекаются в точках О (0, 0) и М (1, 1). Тогда по формуле (4)

Р = (  x²) dx = =   = .

Пример 2. Найти площадь Р фигуры, ограниченной кривой r = a cos 2 (рис. 6).

Решение.

Найдем область определения функции r = a cos 2. Так как r  0, то cos 2   0, тогда        . Из рисунка (6) видно, что площадь этой фигуры равна увеличенной в четыре раза площади заштрихованной части, которая соответствует изменению угла  в пределах 0     . По формуле (5) получим,

Р = 4 а² cos ² 2  d = 2а² d  = а² = а².