§ 3.3. Нахождение определенных интегралов

1. Интегралы с переменным верхним пределом

Пусть функция y = f (x) интегрируема на отрезке [a, b]. Рассмотрим произвольную точку x  [a, b]. Тогда функция y = f (x) интегрируема также и на отрезке [a, x], следовательно, существует определенный интеграл f (t) dt. Этот интеграл зависит от выбора точки х, следовательно, является функцией от переменной х:

 (x) = f (t) dt. (1)

Функция  (x) называется интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема 1 (теорема Барроу). Любая непрерывная на отрезке [a, b] функция f (x) имеет первообразную на этом отрезке. Одной из первообразных функции f (x) является функция (1).

Доказательство.

Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b]. Выберем произвольную точку х принадлежащую данному отрезку и придадим ей приращение x, так чтобы точка х + x  [a, b]. Рассмотрим функцию  (x), определенную формулой (1), и найдем производную этой функции

 ´(x) = = =

= = .

Применим к интегралу f (x) dx теорему о среднем для непрерывной функции

f (x) dx = f ( ) x,

где точка  лежит между точками x и x + x. Очевидно,   х при x  0, значит

= = f ( ) = f (x ).

Это означает, что функция  (x) является первообразной для функции f (x). 

Замечание. Так как функция  (x) = f (t) dt является первообразной для функции y = f (x) на отрезке [a, b], то

= f (x). (2)

Теорема 2. Если функция y = f (x) интегрируема на отрезке [a, b], то интеграл с переменным верхним пределом представляет собой непрерывную на отрезке [a, b] функцию от верхнего предела.

Доказательство.

Рассмотрим приращение функции  (x) в произвольной точке х отрезка [a, b]

 (x) =  (x + x) –  (x) = f (t) dt,

где x выбирается таким образом, чтобы точка x + x также принадлежала отрезку [a, b].

Воспользуемся теоремой о среднем для интегрируемой на отрезке [x, x + x] функции, тогда

 (x) = f (t) dt =  x,

где число  заключено между точной нижней и точной верхней границами функции f (x) на отрезке [x, x + x]. Из этой формулы следует, что  (x)  0 при x  0. Это означает, что функция  (x) непрерывна в любой точке х отрезка [a, b]. 

Интеграл с переменным верхним пределом используется для определения новых функций.

Первообразные для некоторых элементарных функций не является элементарными функциями. К числу таких функций относятся, например, следующие функции:

1. e dt; 2. ;

3. cos t² dt; 4. sin t² dt;

5. dt; 6. dt;

Интеграл 1 носит название интеграла Пуассона, интегралы 3 и 4 – интегралов Френеля, интегралы 2, 5 и 6 называются интегральным логарифмом, синусом и косинусом соответственно.

2. Формула Ньютона–Лейбница

Рассмотрим непрерывную на отрезке [a, b] функцию y = f (x). Одной из первообразных этой функции будет функция  (x) =  f (t) dt. Тогда произвольная первообразная функции имеет вид F(x) =   (x) + C, где С некоторая постоянная.

Пусть х = а, тогда F(а) =   (а) + C = f (t) dt + С = С.

Пусть х = b, тогда F(b) =   (b) + C = f (t) dt + С = f (t) dt + F(а).

Из этих равенств вытекает соотношение

f (x) dx = F(b) – F(а). (3)

Эта формула называется формулой Ньютона–Лейбница.

Таким образом, для нахождения определенного интеграла от непрерывной функции f (x), необходимо найти первообразную для данной функции на отрезке [a, b] и разность значений первообразной для верхнего и нижнего пределов интегрирования.

Заметим, что разность справа в формуле (3) обычно обозначается символом F(x) и формулу пишут в виде

f (x) dx = F(x) = F(b) – F(а).

Пример 1. Найти интеграл sin x dx.