2. Свойства, выраженные неравенствами

Рассмотрим теперь свойства определенного интеграла, выраженные неравенствами.

6. Если функция f (x)  0 на отрезке [a, b] ( a < b) и интегрируема на этом отрезке, то

f (x) dx  0.

Доказательство.

Действительно, каждая интегральная сумма такой функции неотрицательна, следовательно, и предел I = f (x) dx интегральных сумм также неотрицателен.

7. Если функции f (x) и  (x) интегрируемы на отрезке [a, b] (a < b) и на этом отрезке f (x)  g (x), то

f (x) dx  g (x) dx.

Это свойство следует из свойства 6, так как f (x) – g (x)  0.

8. Пусть функция f (x) интегрируема на отрезке [a, b] ( a < b), тогда и функция | f (x)| интегрируема на отрезке [a, b] и выполняется неравенство

| f (x) dx|  |f (x)| dx.

Доказательство.

Докажем сначала, что функция | f (x)| интегрируема на отрезке [a, b]. Обозначим через m_k и M_k точную нижнюю и точную верхнюю границы функции f (x) на отрезке [x_k – 1, x_k], а через m _k и M_k точную нижнюю и точную верхнюю границы функции |f (x)| на этом отрезке. Очевидно, что M_k m_k  M_k  m_k, следовательно, для нижних и верхних сумм Дарбу функций f (x) и |f (x)| выполняется аналогичное неравенство S  – s  S – s. Пусть для некоторого разбиения S – s  , тогда S  – s  S – s  , т.е для функции |f (x)| выполняется необходимое и достаточное условие интегрируемости функции и функция |f (x)| интегрируема на отрезке [a, b].

Докажем теперь, что выполняется неравенство

| f (x) dx|  |f (x)| dx.

Так как  |f (x)|  f (x)  |f (x)|, тогда, по свойству 7,   |f (x)| dx   f (x) dx  |f (x)| dx, а это и означает, что | f (x) dx|  |f (x)| dx. 

9. Если функция f (x) интегрируема на отрезке [a, b] ( a < b) и ограничена на этом отрезке, т.е. существуют такие действительные числа m и M, что

m  f (x)  M,

тогда

m(b – a)  f (x) dx  M(b – a).

Доказательство.

Для интегральной суммы функции f (x) справедливы неравенства

m x_k  f ( _k) x_k  M x_k.

Перейдем в неравенствах к пределу при  0. Тогда, учитывая определение интеграла и свойство 2, получим

m(b – a)  f (x) dx  M(b – a). 

3. Теоремы о среднем

Теорема 1. Пусть

1. функции f (x) и g(x) интегрируемы на отрезке [a, b] ( a < b),

2. m  f (x)  M,

3. функция g(x) на всем промежутке не меняет знак (g(x)  0, или g(x)  0),

тогда найдется такое число , удовлетворяющее неравенствам m    M, что справедлива формула

f (x)g(x) dx   g(x) dx. (1)

Доказательство.

Пусть g(x)  0. Умножим неравенства m  f (x)  M на g(x):

m g(x)  f (x)g(x)  M g(x).

Из этого неравенства, на основании свойств 4 и 7 следует, что

m  g(x) dx   f (x)g(x) dx  M g(x) dx. (2)

Если g(x) ≡ 0 на отрезке [a, b], то и функция f (x)g(x) ≡ 0 на отрезке [a, b], тогда из построения определенного интеграла следует, что g(x) dx = 0 f (x)g(x) dx = 0 и теорема доказана.

Пусть g(x) > 0 на отрезке [a, b], тогда, по свойству 6, определенных интегралов g(x) dx > 0. Разделим неравенство (2) на данный интеграл, получим

m   M. (3)

Обозначим

 = . (4)

Тогда, на основании (3), m    M и, на основании (4),

f (x)g(x) dx =  g(x) dx.

Аналогично доказывается теорема для g(x)  0. 

Замечание. Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a, b], то существует такая точка с [a, b], что f (с) = . В этом случае формула (1) имеет вид

f (x)g(x) dx  f (с) g(x) dx. (5)

Частным случаем теоремы 1 в случае g(x) = 1 является следующая теорема.

Теорема 2. Пусть функция f (x) интегрируема на отрезке [a, b], и пусть m и M  точные границы функции f (x) на этом отрезке. Тогда найдется такое число , удовлетворяющее неравенствам m    M, что

f (x) dx   (b – a). (6)

В случае непрерывной функции формула (6) имеет вид

f (x) dx  f (с) (b – a). (7)