5. Классы интегрируемых функций

Рассмотрим, в каком случае функция f (x) будет интегрируема на отрезке [a, b].

Теорема 3. Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.

Доказательство.

Так как функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], то она равномерно непрерывна на этом отрезке. Пусть дано произвольное  > 0. Тогда, по свойству равномерно непрерывных на отрезке функций, для положительного числа всегда найдется такое  > 0, что, разбив отрезок [a, b] на части [x_k_₁, x_k] длина которых x_k < , получим, что для колебаний функции f (x) на каждом частичном отрезке выполняется неравенство  _k < . Значит,  _k x_k < x_k = . Из замечания 1 теоремы 2 следует, что функция y = f (x) интегрируема на отрезке [a, b]. 

Теорема 4. Если ограниченная на отрезке [a, b] функция y = f (x) имеет конечное число точек разрыва, то она интегрируема на этом отрезке.

Теорема 5. Монотонная, ограниченная на отрезке [a, b] функция y = f (x) интегрируема на этом отрезке.

Замечание. Изменение значений интегрируемой функции в конечном числе точек не отразится на величине определенного интеграла. Действительно, так как данное изменение коснется не более чем k членов суммы  _k x_k, то при   0 сумма по прежнему будет стремиться к нулю, значит, функция по прежнему будет интегрируема. Так как точки  _k при построении интегральных сумм можно выбирать так, чтобы они не совпали с точками, в которых значения функции будут изменены, то, и значение определенного интеграла останется прежним.

§ 3.2. Свойства определенного интеграла

1. Свойства, выраженные равенствами

Рассмотрим следующие свойства определенного интеграла. Пусть а < b, тогда справедливы следующие равенства:

1. f (x) dx = 0.

2. dx = b – a.

3. f (x) dx = – f (x) dx.

Свойства 1, 2 и 3 следуют из построения определенного интеграла. Первую формулу можно рассматривать как распространение понятия определенного интеграла на отрезок нулевой длины. Вторая формула непосредственно вытекает из построения определенного интеграла для функции f (x) ≡ 1 на отрезке [a, b]. Третья формула представляет собой обобщение понятия определенного интеграла на случай, когда отрезок [a, b] пробегается в направлении от b к a. В этом случае в интегральной сумме все разности x_k = x_k  x_k_₁ имеют отрицательный знак.

4. Если функции f (x) и g (x) интегрируемы на [a, b], то и функции f (x) g (x), kg (x) также интегрируемы на отрезке [a, b], и выполняются равенства

а) ( f (х) g (х)) dx = f (x) dx g (x) dx,

б) k f (x) dx = k f (x) dx.

Доказательство.

Докажем равенство а). Разобьем отрезок [a, b], произвольным образом на n частей и на каждом из частичных отрезков разбиения [x_k_– 1, x_k] выберем произвольным образом точку точки  _k . Составим суммы

I₁( _k; x_k) = f ( _k) x_k , I₂( _k; x_k) = g ( _k) x_k ,

I₃( _k; x_k) = ( f ( _k) g ( _k)) x_k = f ( _k) x_k g ( _k) x_k =

= I₁( _k; x_k) I₂( _k; x_k).

Функции f (x) и g (x) интегрируемы, следовательно, существуют конечные пределы сумм I₁ и I₂ при 0

I₁( _k; x_k) = f (x) dx, I₂( _k; x_k) = g (x) dx.

Тогда, по свойствам пределов функций,

( f (х) g (х)) dx = I₃( _k; x_k) = (I₁( _k; x_k) I₂( _k; x_k)) =

= I₁( _k; x_k) I₂( _k; x_k) = f (x) dx g (x) dx.

Аналогично доказывается равенство б). 

5. Пусть функция f (x) интегрируема на наибольшем из промежутков [a, b], [a, c], [c, b]. Тогда она интегрируема и на двух других промежутках, причем

f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx.