4. Условие существования определенного интеграла

Теорема 2. (необходимое и достаточное условие существования определенного интеграла). Для существования определенного интеграла необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

(S – s) = 0. (9)

Доказательство.

Необходимость. Пусть для функции f (x) существует интеграл (5)

I = f (x) dx.

Тогда, из построения определенного интеграла, следует, что для любого  > 0 можно найти такое  > 0, что при любом разбиении отрезка [a, b], при котором  < , выполняется неравенство

| I ( _k; x_k) – I | < , (*)

независимо от выбора точек  _k  [x_{k – 1}, x_k].

Зафиксируем произвольное  > 0 и рассмотрим некоторое разбиение отрезка [a, b] при котором  < . Тогда для всех интегральных сумм данного разбиения выполняется неравенство (*).

С другой стороны, так как при данном разбиении сумма s является точной нижней границей множества всех интегральных сумм этого разбиения, то, по определению нижней границы множества,

1) s  I ( _k; x_k), где I (_k; x_k) – произвольная интегральная сумма рассматриваемого разбиения;

2) для любого  > 0, существует такая точка _k, что

I (_k; x_k)   s .

Аналогично, для суммы S и для интегральных сумм выбранного разбиения, по определению верхней границы множества,

1) S  I ( _k; x_k), где I (_k; x_k) – произвольная интегральная сумма рассматриваемого разбиения;

2) для любого  > 0, существуют такие точки _k, что

I (_k, x_k) +  S.

Рассмотрим разность

|S – s| = |S – I (_k; x_k) + I (_k; x_k) – I + I – I (_k; x_k) + I (_k; x_k) – s| 

 |S – I (_k; x_k)| + |I (_k; x_k) – I | + |I – I (_k; x_k)| + |I (_k; x_k) – s| 

 + + + = .

Следовательно, по определению предела,

(S – s) = 0.

Достаточность. Пусть выполняется условие (9). Обозначим: I_* = sup {s}, I ^*= inf {S}. Так как для любого разбиения отрезка [a, b] выполняется неравенство (8), и, согласно (9), для любого  > 0, существует такое  > 0, что при любом разбиении Т для которого  < , верхняя и нижняя суммы Дарбу данного разбиения удовлетворяют неравенству S – s  < , то I_*  I^* < . В силу произвольности  имеем I_* = I ^* = I и s  I  S.

Докажем теперь, что I является пределом интегральных сумм функции f (x). Для этого рассмотрим произвольную интегральную сумму I ( _k, x_k), отвечающую разбиению Т. На основании (7), для верхней и нижней сумм Дарбу данного разбиения выполняется неравенство s  I ( _k, x_k)  S.

Тогда, для выбранного нами , при разбиении Т отрезка [a, b] выполняется неравенство |I – I ( _k; x_k)|  S – s  < . Следовательно,

I = I ( _k, x_k),

т.е. существует определенный интеграл f (x) dx = I. 

Замечание 1. Если обозначить через  _k = M_k – m _k  колебание функции на отрезке [x_{k – 1}, x_k], то

S – s = (M_k - m_k)x_k =  _k x_k .

Тогда условие существования определенного интеграла может быть записано следующим образом:

 _k x_k = 0. (10)

Замечание 2. Если функция y = f (x) интегрируема на отрезке [a, b], то

S = s = f (x) dx (11)