2. Интегральные суммы. Понятие определенного интеграла

Перейдем к введению точного понятия определенного интеграла. Пусть на отрезке [a, b] задана функция y = f (x). Разобьем данный отрезок произвольными точками a = x₀ < x₁ < x₂ < …< x_n = b на n отрезков [x₀, x₁], [x₁, x₂], …, [x_{k – 1}, x_k], …, [x_{n – 1}, x_n]. На каждом из отрезков разбиения выберем произвольным образом точки  _k  [x_{k – 1}, x_k]. Составим сумму:

I ( _k; x_k) = f ( _k) x_k , (3)

где x_k = x_k  x_{k – 1}. 

Сумма (3) называется интегральной суммой. Она зависит от выбора точек  _k и способа разбиения отрезка [a, b] на части.

Обозначим через  длину наибольшего из отрезков данного разбиения. Будем строить различные интегральные суммы, разбивая отрезок [a, b], так чтобы первому разбиению соответствовало  = ₁, второму –  = ₂, и т.д. При этом выполнялось бы условие _n < _{n – 1}. Построим последовательность {_n}. Пусть _n = 0.

Определение 1. Число I называется пределом интегральных сумм I ( _k; x_k) при   0, если для любого  > 0 можно найти такое  > 0, что при любом разбиении отрезка [a, b] , при котором  < , выполняется неравенство

| I ( _k; x_k) – I | < 

независимо от выбора точек  _k .

Обозначим

I = I ( _k; x_k). (4)

Определение 2. Предел (4), если он существует и конечен, называется определенным интегралом от функции f (x) на отрезке [a, b] и обозначается

I = f (x) dx. (5)

В этом случае функция y = f (x) называется интегрируемой функцией.

Часто определенный интеграл (5) называется интегралом Римана, а функция f (x) – интегрируемой по Риману.

Теорема 1. Неограниченная на отрезке [a, b] функция не интегрируема на этом отрезке.

Доказательство.

Пусть функция y = f (x) не ограничена на отрезке [a, b]. Тогда при всяком фиксированном разбиении Т отрезка [a, b], найдется такой частичный отрезок [x_k  1, x_k], на котором функция также будет неограниченна. Следовательно, для любого сколь угодно большого числа А можно выбрать точку  _k  [x_{k – 1}, x_k], такую, что |f ( _k)| > А. Значит, интегральную сумму I ( _k; x_k), подбирая точки _k, можно сделать тоже сколь угодно большой по абсолютной величине. Следовательно, интегральные суммы, отвечающие любому разбиению Т не ограниченны, и поэтому не существует конечного предела интегральных сумм. 

Следствие. Для того, чтобы функция была интегрируемой на отрезке [a, b], необходимо, чтобы она была ограничена на этом отрезке.

3. Суммы Дарбу

Введем в рассмотрение наряду с интегральными суммами сходные с ними, но более простые суммы, которые получили название сумм Дарбу.

Пусть функция y = f (x) определена и ограничена на отрезке [a, b]. Разобьем данный отрезок произвольными точками a = x₀ < x₁ < x₂ < …< x_n = b на n отрезков [x₀, x₁], [x₁, x₂], …, [x_{k – 1}, x_k], …, [x_{n – 1}, x_n]. Пусть m_k и M_k , соответственно, точная нижняя и точная верхняя границы функции f (x) на k-том отрезке разбиения [x_{k – 1}, x_k]. Составим следующие суммы:

s = m_k x_k ; S = M_k x_k . (6)

Суммы (6) называются нижней и верхней суммами Дарбу. Суммы s и S зависят только от способа разбиения отрезка [a, b] и для каждого фиксированного разбиения существует только одна верхняя и одна нижняя суммы Дарбу.

Так как на каждом отрезке [x_{k – 1}, x_k] для любой точки  _k данного отрезка, по определению верхней и нижней граней функции, m_k  f ( _k)  M_k, то для всех интегральных сумм данного разбиения выполняется неравенство

s  I ( _k; x_k)  S . (7)

Кроме того, легко доказать, что суммы s и S при заданном разбиении являются точной верхней и точной нижней границами интегральных сумм этого разбиения.

Для непрерывной на отрезке [a, b] функции суммы s и S можно рассматривать, как интегральные суммы.

Свойства сумм Дарбу.

1. Если к имеющимся точкам разбиения добавить новые точки, то сумма s может только увеличиться, а сумма S – только уменьшиться.

Доказательство.

Добавим к существующему разбиению еще одну точку х  [x_{k – 1}, x_k]. Пусть S – верхняя сумма Дарбу старого разбиения:

S = M₁ x₁ + M₂ x₂ + …+ M_k x_k + … + M_n x_n .

Пусть S  – верхняя сумма Дарбу нового разбиения:

S  = M₁ x₁ + M₂ x₂ + …+ M ( х – x_{k – 1})+ M ( x_k – х)+ … + M_n x_n .

Видим, что сумма S отличается от суммы S  только слагаемым M_k x_k, которое в сумме S заменяется слагаемым M ( х – x_{k – 1}) + M ( x_k – х). Поскольку M_k    M и  M_k  M , то

M ( х– x_{k – 1}) + M ( x_k – х)  M_k ( х– x_{k – 1}) + M_k ( x_k – х)  M_k (x_k   x_{k – 1}).

Следовательно, S   S.

Аналогично доказывается, что если к имеющимся точкам разбиения добавить новые точки, то s   s. 

2. Каждая нижняя сумма Дарбу не превосходит каждой верхней суммы, хотя бы отвечающей и другому разбиению промежутка.

Доказательство. Разобьем отрезок [a, b] на части и составим для этого разбиения суммы Дарбу s₁ и S₁. Рассмотрим теперь другое, не связанное с первым, разбиение отрезка [a, b], которому соответствуют суммы s₂ и S₂. Докажем, что s₁  S₂.

Объединим точки деления первого и второго разбиения и получим третье, вспомогательное, разбиение, которому будут отвечать суммы s₃ и S₃. На основании свойства 1, имеем s₁  s₃. Сопоставив второе и третье разбиение, получим: S₃  S₂. Кроме того, s₃  S₃.

Следовательно, s₁  s₃  S₃  S₂, что и требовалось доказать. 

Следствие. Множество {s} нижних сумм Дарбу ограничено сверху любой верхней суммой Дарбу. Значит, это множество имеет точную верхнюю грань I_* (I_* = sup {s}). Аналогично, множество {S} верхних сумм Дарбу ограничено снизу любой нижней суммой и, значит, имеет точную нижнюю грань I ^*( I ^*= inf {S}).

При этом, очевидно, что I_*  I ^*. Значит,

s  I_*  I ^*  S (8)

для любых нижних и верхних сумм Дарбу.