Решение.
а)
Подынтегральная функция
относится к виду 1). Поэтому сделаем
подстановку t = cos х,
найдем dt = sin x dx,
и учитывая, что
sin 2 x =
= 1 cos 2 х
= 1
t2,
получим
=
=
=
ln
+ C
=
=
ln
+ C.
Этот интеграл можно найти с помощью внесения под знак дифференциала функции sin x, так как sin x dx = d (cos x), то
=
=
=
=
= ln + C.
б) Подынтегральная функция относится к виду 2), поэтому внесем под знак дифференциала функцию cos x
cos 3 x dx = cos 2 x cos x dx = cos 2 x d (sin x) = (1 sin 2 x)d(sin x) =
=
sin x
+ С.
в) Воспользуемся формулой sin 5x cos x = (sin 4x + sin 6x), тогда
sin 5x cos x dx = (sin 4x + sin 6x) dx = sin 4x dx + sin 6x dx =
=
cos 4x
cos 6x
+ C.
г) Для нахождения этого интеграла сделаем подстановку t = tg x, тогда, по формулам (2)
cos 2 x =
,
sin 4 x = 
,
dx =
,
=
=
dt
=
dt =
=
t
+ C
=
tg x
ctg x
4ctg 3 x + C.
2. Интегрирование иррациональных выражений вида
R 
Рассмотрим интеграл
R
dx, (3)
где m натуральное, a, b, c, d действительные числа. Этот интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки
t
=
,
t m
=
,
x =
. (4)
Пример
3. Найти
интеграл
.
Решение.
Преобразуем
подынтегральную функцию, умножив
числитель и знаменатель дроби на
,
получим
=
.
Пусть
t =
,
х
=
,
х + 1
=
,
dx
= 
,
тогда
=
t
= 3
=
=
3
.
Разложим дробь на простые дроби методом неопределенных коэффициентов
=
+
=
=
.
Приравняв числители дробей, стоящих в левой и правой частях равенства и коэффициенты при одинаковых степенях переменной t, получим систему уравнений
Решая
эту систему, найдем А=
,
M
=
,
N =
,
тогда
= 3 =
=
+
dt =
ln |t 1|
+
dt
= 
=
= ln |t 1|
+
+
= ln |t 1|
+
ln
+
+ 
arctg
+ C
=
ln
+
arctg
+
C,
где t = .
Рассмотрим интеграл
R
dx, (5)
где
рациональные
дроби, a,
b,
c,
d
действительные числа. Интеграл (5)
сводится к интегралу от рациональной
функции с помощью подстановки t m
=
,
где m
наименьший
общий знаменатель дробей
.
Пример
3. Найти
интеграл
.
Решение.
Этот
интеграл является интегралом типа (5).
Сделаем подстановку t6 = x,
тогда
= t3,
= t2,
dx =
6t5dt.
=
= 6
=
=
24
12
+ 6
48
=
= 24ln |t|
+ 
24 ln|2t + 1|
+ C =
=
24 ln 
+ 
+ C.
3. Интегрирование биноминальных дифференциалов
Биноминальным дифференциалом называется выражение вида
хm(a + bxn) р dx,
где a и b любые постоянные, а показатели степеней m, n и p некоторые рациональные числа. Изучим вопрос об интегрируемости в элементарных функциях биноминальных дифференциалов. Рассмотрим случаи, при которых возможно интегралы от биноминальных дифференциалов свести к интегралам от рациональных функций.
1.
Пусть р
целое число, m
=
,
n = 
рациональные числа. Тогда интеграл
хm(a + bxn) р dx
рационализируется
с помощью подстановки t = 
,
где s
наименьшее общее кратное знаменателей
дробей
и
.
2.
Пусть
целое число. В этом случае сделаем
подстановку z = xn,
тогда х
= z
,
dx = 
z
dz.
Получим
хm(a + bxn) р dx
=
z
(a + bz) р dz
=
z q(a + bz) р dz.
Так
как q =
целое, р = 
рациональное числа, то интеграл
z q(a + bz) р dz
приводится
к интегралу от рациональной функции с
помощью подстановки
t = 
.
3.
Пусть
+ p
целое число, р =
.
Сделаем
подстановку z = xn
и получим интеграл
z
(a + bz) р dz =
z
dz.
Последний интеграл рационализируется с помощью подстановки
t
=
=
.
Пример 4. Найти интегралы:
а)
dx;
б)
.