Решение.
а) Дробь является неправильной. Выделим целую часть этой дроби посредством деления числителя на знаменатель «столбиком»:
-
_2х4 7х3 + 7х2 х + 1
2х4 6х3 + 4х2
х3 3х2 + 2х
2х 1
_ х3 + 3х2 х
х3 + 3х2 2х
остаток х + 1
Тогда
=
2х 1 +
= 2х 1 +
.
dx = (2х 1) dx + dx.
Дробь, стоящая под знаком второго интеграла правильная, следовательно, по теореме 1, представима в виде суммы простых дробей (см. пример 2), значит
dx
=
(2х 1) dx
+
+
2
+
=
= х2 х + ln x 2 ln (x 1) + ln (x 2) + C.
б)
Рассмотрим
интеграл
dx.
Так как квадратный трехчлен х2 + 1 не имеет действительных корней, то, по теореме 1, разложение подынтегральной дроби на простые дроби имеет вид
=
+
+
.
Правую часть равенства приводим к общему знаменателю и приравниваем числители полученных дробей.
3х4 + 2х3 + 2х2 + 3x 3 = х4(А + М1) + х3(2М1 + N1) + + х2(2А + М1 2N1 + М2) + х(2М1 + N1 2М2 + N2) + (А 2N1 2N2)
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений
Решая эту систему, получим А = 3, М1 = 0, N1 = 2, М2 = 0, N2 = 1. Следовательно,
=
+
+
.
Учитывая результаты примера 3 б), получим
dx = 3
+ 2
+
=
= 3ln (x 2) + 2arctg x + + arctg x + C =
= 3ln (x 2) +
+ 
arctg x + C.
§ 2.3. Интегрирование некоторых тригонометрических и иррациональных выражений
1. Интегрирование тригонометрических выражений
Будем
обозначать символом R (х,
у)
рациональную функцию от двух аргументов
х и
у
(т.е. выражение вида
,
где Pn(х,
у)
и Qm(x,
y)
многочлены степеней n
и m
от х и
у).
Рассмотрим
R (cos х,
sin x)
dx.
Этот интеграл сводится к интегралу от
рациональной функции с помощью подстановки
t = tg 
( < x < ).
Действительно, так как
sin x = 
= 
,
cos x = 
= 
,
x = 2 arctg t,
dx = 
, (1)
то
R (cos х,
sin x)
dx =
R 
.
Интеграл, стоящий в правой части данного равенства является интегралом от рациональной дроби.
Подстановка t = tg называется универсальной тригонометрической подстановкой.
Пример
1. Найти
(a и b
некоторые положительные действительные
числа).
Решение.
Применим универсальную тригонометрическую подстановку t = tg . Учитывая формулы (1), получим
=
= 2
=
=
2
= 2
= 
.
Обозначим:
u = t
,
2
=
.
Получим интеграл
=
ln 
+
С =
= 
ln 
+ C.
С помощью подстановки t = tg интеграл от любой функции вида R (cos х, sin x) сводится к интегралу от рациональной функции, но часто такая подстановка приводит к громоздким вычислениям, поэтому для некоторых интегралов удобнее применять другие подстановки.
1) Если R (cos х, sin x) = R (cos х, sin x), то делаем подстановку t = cos х или интеграл от такой функции удобно находить внесением под знак дифференциала множителя sin x;
2) Если R (cos х, sin x) = R (cos х, sin x), то делаем подстановку t = sin x или интеграл находится внесением под знак дифференциала множителя cos x;
3) Если R (cos х, sin x) = R (cos х, sin x), то делаем подстановку t = tg x ( < x < ), тогда
cos 2 х
= 
= 
,
sin 2 x = 
= 
x = arctg t,
dx = 
, (2)
Пример 2. Найти интегралы:
а)
;
б) cos 3 x dx;
в) sin 5x cos x dx;
г)
dx.