Решение.

x ln xdx = = ln x –  dx =

= ln x  xdx = ln x  + C.

Пример 6. Найти интеграл е sin  x dx (  const,  const).

Решение.

Применим формулу (8´)

е sin  x dx = =

=  е cos  x  +  е cos  x dx = =

=  е cos  x  +  е sin  x  е sin  x dx.

Таким образом, после двукратного интегрирования по частям, мы получили уравнение, в котором в качестве неизвестной величины можно рассматривать интеграл е sin  x dx. Из этого уравнения находим

е sin  x dx =  е cos  x  +  е sin  x  е sin  x dx.

е sin  x dx =  е cos  x  +  е sin  x.

е sin  x dx =  е cos  x  +  е sin  x + С.

Замечание. Методом интегрирования по частям можно найти и интегралы (6) и (7).

§ 2.2. Интегрирование рациональных дробей

1. Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей

Рассмотрим рациональную функцию , где P_n(x) и Q_m(x)  многочлены степеней n и m относительно переменной х.

Теорема 1. Пусть  правильная рациональная дробь (n < m), и разложение многочлена Q_m(x) на множители имеет вид

Q_m(x) = (x   a) …(x – b) (x² + px + q) … (x² + rx + s) ,

где a, …, b, p, q, …, r, s  действительные числа, , , , , …  натуральные числа, x² + p₁x + q₁, …, x² + p₂x + q₂  квадратные трехчлены, не имеющие действительных корней.

Тогда дробь представима виде суммы простейших дробей

= + + … + + … + +

+ + … + +   +

+  + … + + … +   +

+  + … + , (1)

где A_i, B_i, M_i, N_i С_i, D_i  действительные числа.

Дроби, входящие в правую часть (1), называются простейшими, коэффициенты A_i, B_i, M_i, N_i, С_i, D_i в знаменателях этих дробей являются неизвестными и называются неопределенными коэффициентами. Для их нахождения используют несколько методов.

Метод неопределенных коэффициентов. Чтобы определить коэффициенты A_i, B_i, M_i, N_i, дроби, стоящие в правой части равенства (1), приводят к общему знаменателю. После этого сравнивают коэффициенты при одинаковых степенях переменной х в числителе полученной дроби и в многочлене P_n(x).

Рассмотрим этот метод на конкретном примере.

Пример 1. Разложить на сумму простейших дробей дробь

.

Решение.

Квадратный трехчлен x² + x + 1 не имеет действительных корней и на множители не раскладывается, тогда по теореме 1, записываем дробь в виде

= + + . (2)

Для нахождения коэффициентов А₁, А₂, M, N приведем к общему знаменателю сумму дробей, стоящих в правой части равенства (2)

= =

= = = 

В дробях, стоящих в левой и правой частях полученного равенства, равны знаменатели, а, следовательно, равны и числители

2x³ + 4x² + x + 2 =  x³(A₁ + M) + x²(A₂  2M + N) + x(A₂ + M  2N) +

+(A₁ + A₂ + N)

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х и получим систему уравнений

Решая эту систему, найдем А₁ = 2, А₂ = 3, М = 0, N = 1. Тогда

 = + + .

Замечание. Метод неопределенных коэффициентов всегда приводит к цели, но он довольно громоздкий. Поэтому, когда это возможно, коэффициенты в разложении находятся другим, более простым способом.

Метод вычеркивания. Пусть знаменатель Q_m(x) дроби имеет действительный корень а кратности , т.е. Q_m(x) можно записать в виде Q_m(x) = (х  а)^ (х). Тогда данному корню в разложении (1) дроби соответствует цепочка простых дробей

+ + … + .

Для отыскания коэффициента А_ в этом разложении, надо в знаменателе исходной дроби вычеркнуть (х  а)^ и в оставшейся дроби положить х = а, т.е.

А_ = . (3)

Формула (3) получится, если умножить левую и правую части равенства (1) на (х  а)^ и в получившемся равенстве положить х = а.

Метод вычеркивания особенно эффективен, если

Q_m(x) = (x   a₁) (x   a₂) …(x   a_m).

Тогда справедливо разложение

=  +   + … +  ,

где коэффициенты А₁, А₂, …, А_т могут быть вычислены методом вычеркивания.

Пример 2. Найти разложение дроби на сумму простейших дробей.