Решение.
sin x cos x dx = sin x(1 sinx) cos x dx = =
=
t(1
t)dt
=
tdt
tdt
=
+ C =
+
C.
Замечание 2. В простых случаях можно тождественно преобразовать подынтегральное выражение и выделить дифференциал новой переменной, внеся один из множителей подынтегрального выражения под знак дифференциала.
Учитывая, что ´(x) dx = d( (x)) = dt, получим
f ((x)) ´(x) dx = f ((x)) d( (x)) = | (x) = t| =
= f (t) dt = F (t) + C = F ( (x)) + C.
При этом новую переменную t можно не вводить, а сразу писать
f((x))d( (x)) = F ( (x)) + C.
Такой способ нахождения неопределенных интегралов называется методом внесения под знак дифференциала.
Пример 2. Найти интегралы:
а) ;
б)
.
Решение.
а) = = = ln |х2 + а2| + C.
При нахождении этого интеграла использовались свойства дифференциалов функций: d (f (х) С)= d (f (х)), d (С f (х))= С d (f (х)).
б)
=
= ln |ln x|
+ C.
Замечание 3. Часто встречаются случай, когда сложная функции имеет вид f (ax + b). Тогда
f (ax + b) dx = = f (t) dt = F(t) + C = F(ax + b) + C.
Таким образом, справедлива формула
f (ax + b) dx = F(ax + b) + C. (4)
Пример 3. Найти интегралы а) cos (2x + 1) dx, б) e 1 5х dx,
Решение.
Воспользуемся формулой (4).
а)
cos
(2x + 1)
dx =
sin (2x + 1)
+ С;
б)
e
1
5х
dx = 
e 1
5х
+ С.
Замечание 4. Часто при нахождении интеграла f(x) dx целесообразно сделать подстановку x = (t), тогда
f(x) dx = = f ((t)) ´(t) dt, (5)
где g (t) = f ((t)) ´(t), более удобная для интегрирования функция, чем f(x).
Пример 4. Найти интеграл dx.
Решение.
Учитывая,
что функция x = a sin t
монотонна на интервале
t
и имеет на
этом интервале обратную функцию t
= arsin
,
получим
dx = = ( a cos t) dt =
=
a2
cos 2
t
dt = a
dt =
dt
+
cos
2t
dt
=
=
t
sin 2t
+ C
=
arcsin
+
2sin
t cos
t + C=
= arcsin + 2sin (arcsin ) cos(arcsin ) =
= =
= arcsin + = arcsin + + C.
Значит,
dx = arcsin + + C. (6)
Аналогично,
используя подстановку x
=
,
,
можно найти
dx= + ln|x + | + C. (7)
4. Интегрирование по частям
Теорема 4. Пусть функции u(x) и v(x) дифференцируемы на интервале X, кроме того, на данном интервале существует первообразная для функции u ´(x) v (x). Тогда на интервале X существует первообразная и для функции u(x) v'(x) и справедлива формула
u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) v(x)u'(x)dx. (8)
Доказательство. Найдем производную функции u(x)v(x):
(u(x)v(x))' = u'(х) v (х) + u (х) v'(х).
Умножим полученное равенство на dx и проинтегрируем:
(u(x)v(x))'dx = (u'(х) v (х) + u (х) v'(х)) dx.
Получим
u(x)v(x) = (u'(х) v (х)) dx + (u (х) v'(х)) dx
или
(u (х) v'(х)) dx = u(x)v(x) (u'(х) v (х)) dx.
Замечание. Обозначим u(x) = u, v´(x) dx = dv(x) = dv, u´(x) dx = d u(x) = du. Тогда формула (8) примет вид
udv = uv vdu. (8´)
Формулы (8) и (8´) называются формулами интегрирования по частям.
Формула интегрирования по частям имеет более ограниченное применение, чем метод подстановки. Но есть целые классы интегралов, которые находятся с помощью этого метода. Метод интегрирования по частям удобно применять в следующих случаях.
1. Подынтегральная функция содержит в качестве множителя функции ln x, arcsin x, arccos x, arctg x. Если в качестве u (x) выбрать эти функции, то подынтегральное выражение vdu в новом интеграле обычно получается проще исходного.
2. Подынтегральная
функция имеет вид P (x) 
, P (x) sin x,
P (x) cos x,
где P (x)
многочлен относительно переменной х.
В этом случае в качестве u (x)
следует выбрать P (x).
3. Подынтегральная функция имеет вид ecos x, esin x. После двукратного интегрирования по частям получается исходный интеграл с некоторым коэффициентом. Полученное равенство является линейным алгебраическим уравнением относительно исходного интеграла.
Пример 5. Найти интеграл x ln x dx.