II. Неопределенный интеграл

§ 2.1. Первообразная и неопределенный интеграл

1. Понятие первообразной и неопределённого интеграла

Пусть функция f (x) определена на некотором интервале (a, b).

Определение 1. Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на интервале (a, b), если функция F (x) дифференцируема на этом интервале и

F ´ (x) = f (x)

для всех x  (a, b).

Примеры.

а) Функция F(x) = cos x является первообразной для функции f(x) = sin x на всей числовой прямой, так как в любой точке

F ´ (x) = (cos x)´= sin x.

б) Функция F (x) =  является первообразной для функции f (x) =  на интервале (1, 1).

Очевидно, что если F (x) первообразная для функции f (x) на интервале (a, b), то F (x) + C, где C – произвольная постоянная, также является первообразной дляфункции f (x) на интервале (a, b).

Теорема 1. Если F(x) и F(x) – первообразные для функции f (x) на интервале (a, b), то всюду на этом интервале

F(x) = F(x) + C. (1)

Доказательство.

Рассмотрим функцию Ф (x) = F(x)  F(x) и докажем что Ф (x) = С.

Действительно, так как F(x) и F(x) дифференцируемые на интервале (a, b) функции, то и функция Ф (x)  дифференцируема на этом интервале и Ф´(x) = (F(x))´ – (F(x))´ = f ´(x) – f ´(x) = 0, следовательно, Ф(x) = C (теорема 1, § 1.4). Значит,

F(x) = F(x) + C.



Следствие. Если функция F(x)  первообразная для функции f (x), то любая другая первообразная функции f (x) имеет вид F(x) + C.

Замечание. Легко видеть, что если функция F(x)  первообразная функции f (x), то f (x) dx = F ´(x) dx = dF(x) = d(F(x) + C), т.е. для того, чтобы внести функцию под знак дифференциала, необходимо найти её первообразную.

Определение 2. Совокупность всех первообразных для функции f (x) на интервале (a, b), называется неопределённым интегралом от функции f(x) на этом интервале и обозначается символом

.

Из теоремы 1 следует, что

= F (x) + C. (2)

2. Основные свойства неопределённого интеграла

1. dF(x) = F (x) + C.

Доказательство.

Пусть функция F (x) является первообразной для функции f (x). Так как dF(x) = F'(x)dx, то

dF(x) = F'(x)dx = f (x)dx = F(x) + C. 

2. d = f (x) dx.

Доказательство.

По определению 2, f (x) dx = F (x) + C, где F (x)  первообразная для функции f (x). Следовательно,

d = d(F (x) + C) = (F(x) + C)´dx = F ´(x) dx = f (x) dx. 

3. (f(x) ± g(x)) dx = f (x) dx ± g (x) dx.

Доказательство.

Пусть F (x)  первообразная для функции f (x), а G (x)  первообразная для функции  g(x), следовательно, = F (x) + C₁, = G (x) + C₂.

Так как (F (x) ± G (x))´ = (F (x))´ ± (G (x))´ = f (x) ± g(x), то функция F (x) ± G (x) является первообразной для функции f (x) ± g(x). Тогда

(f(x) ± g(x)) dx = F (x) ± G (x) +С =

= (F (x) + С₁) ± (G (x) +С₂) = ± ,

где С₁ ± С₂ = С. 

Аналогично доказывается следующее свойство:

4. A f(x)dx = A f(x)dx.