6. Наибольшее и наименьшее значение функции

Пусть функция f (x) определена и непрерывна на отрезке [a, b]. По свойству непрерывных функций, эта функция достигает своего наибольшего и наименьшего значения на этом отрезке.

Наибольшее значение функция f (x) может принимать или в точке максимума или на концах отрезка [a, b], наименьшее – или в точке минимума, или на концах отрезка [a, b]. Следовательно, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции f (x) на отрезке (a, b), необходимо:

1. найти критические точки функции f (x), принадлежащие интервалу (a, b);

2. найти значения функции в этих критических точках и на концах отрезка;

3. сравнить полученные результаты.

Замечание. Если на отрезке (интервале) функция f (x) имеет одну критическую точку, то функция в этой точке принимает наибольшее значение на данном интервале, если эта точка  точка максимума, и наименьшее значение в случае, если эта точка  точка минимума.

Пример 6. Вычислить наибольшее и наименьшее значения функции y = x⁴  8x² + 3 на отрезке [2, 2].

Решение.

1. Находим критические точки функции

y´(x) = 4x³ – 16x = 4x(x²  4) = 0,

x₁ = 0, x₂ = 2, x₃ = 2.

Точка х₁ = 0 принадлежит интервалу (2, 2). Точки x₂ = 2 и x₃ = 2 совпадают с концами отрезка [2, 2].

2. Находим значения функции в этих точках:

y(0) = 3, y(2) = 13, y(2) = 13

3. Сравниваем полученные значения.

Наибольшее значение функции равно 3 и достигается в точке х₁ = 0, наименьшее равно 13 и достигается в точках x₂ = 2 и x₃ = 2.

К нахождению наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке [a, b] приводят многие прикладные задачи. Общая схема решения таких задач состоит в следующем: сначала устанавливается зависимость рассматриваемой величины y от некоторой независимой переменной x, из условия задачи определяется промежуток, в котором может изменяться переменная x. Далее находится наибольшее или наименьшее значение функции y = f (x) на отрезке [a, b].

Пример 7. В окружность радиуса R вписать прямоугольник наибольшей площади.

Решение.

Проведем координатные оси параллельно сторонам прямоу-гольника, так чтобы начало отсчета совпало с центром окружности (рисунок 9).

Тогда уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом равным R имеет вид x² + y² = R².

П усть точки А(a, b), B (a, b), С (a, b), D (a, b) (а > 0, b > 0) являются вершинами прямоугольника. Очевидно, что АВ = 2а, ВС = 2b, S_abcd =  АВВС = 4ab. Так как прямоугольник ABCD вписан в окружность, то координаты его вершин удовлетворяют уравнению окружности, т.е. справедливо равенство а² + b² = R², значит а =  . Следовательно, площадь прямоугольника можно выразить через одну переменную b:

S (b) = 4b , 0 < b < R.

Найдем наибольшее значение функции S (b) на интервале (0, R).

S ´(b) = 4  = .

Тогда при b =  производная функции S (b) обращается в нуль, кроме того, точка b =  является точкой максимума функции. Следовательно, наибольшее значение на интервале (0, R) функция S (b) принимает при b =  . В этом случае а =  = . Значит прямоугольник, вписанный в окружность, имеет наибольшую площадь, если он является квадратом со стороной . Площадь этого квадрата равна .