49. Формы записи диф. Уравнений Форма записи дифференциальных уравнений сау

Запись уравнения, отражающего зависимость выходной величины от входной, может иметь различные формы. Рассмотрим основные формы записи дифференциальных уравнений САУ.

Первая форма записи имеет вид:

(T₂²p₂² + T₁p + 1)y = k(Tp + 1)x,

где ;

В данном случае Т — постоянная времени звена, измеряется в секундах и характеризует инерционность звена, k — передаточный коэффициент звена, который либо не имеет размерности, либо имеет размерность величины b₁/a₁ соответственно.

Вторая форма записи — через передаточную функцию звена

где W(p) — характеризует отношение изображений по Лапласу выходной величины звена ко входной при нулевых начальных условиях и равенстве нулю всех возмущающих воздействий.

Третья форма записи применяется относительно переменных состояния, когда САУ описывается векторно-матричным дифференциальным уравнением:

;

где А — квадратная матрица коэффициентов; В — матрица управления; С — матрица выхода; D — матрица обхода системы; u(t) — многомерный вектор входных переменных; x — многомерный вектор переменных состояний входных координат; y — многомерный вектор выходных переменных.

Следует заметить, что в общем случае любая САУ описывается либо в форме дифференциального уравнения:

или

либо в его свёрнутом виде (уравнение типа вход-выход):

или ему подобных.

50. Понятие качества регулирования. Показатели качества. Частотные показателт качества.

Основные показатели качества САУ

Качество САУ определяется следующими показателями:

1. Время достижения установившегося режима – такое время, по истечение которого для управляемой величины выполняется условие:

  ,  где у – управляемая величина; _р – некоторая величина (для САУ 5% от установившегося режима). Время переходного процесса –отрицательное время, при котором переходный процесс по выходной координате достигает 5%-ной зоны от устойчивого значения.

2. Перерегулирование - это процентное соотношение разницы максимального перерегулирования и установившегося значения:

. 2. а) Время максимального перерегулирования (t_{перерег}), такое время, при котором выходная величина достигает своего максимального по модулю значения: . 2. б) Число перерегулирований – это количество раз, когда управляемая величина превышает по модулю значение: .

3. Колебательность () - кол-во колебаний, приходящихся на отрезок времени переходного процесса.

4. Ошибка в установившемся режиме (точность САУ)

. Д  ля статических систем ошибку можно графически продемонстрировать как:  Для астатических систем: П  ервые два показателя – это показатели качества переходного процесса, а четвертый – показатель качества в установившемся режиме. Вместе они образуют группу показателей качества САУ.  Для анализа показаний качества управления могут быть использованы прямые и косвенные методы оценки. Прямые методы определения качества базируются на исследовании переходного процесса, дают наиболее достоверную информацию с последующим определением показаний качества. Но они являются самыми трудоемкими. Косвенные методы определения качества позволяют по косвенным признакам, не решая ни дифференциальных, ни характеристических уравнений, получить приближенный переходный процесс с приближенными показателями качества.

Частотный косвенный метод оценки качества.

1. Близким по виду вещественным характеристикам Р() соответствуют близкие по виду переходные характеристики h(t).

2. При косвенных оценках вещественной характеристики Р() ограничиваются исследованием спектра частот _П, при которых вещественная действительная характеристика Р() имеет положительное значение.

О  тбрасываемая часть при частотах свыше _П влияет на начало переходной характеристики h(t). 

3. Е  сли  , где п – произвольное число, то  . Это означает следующее: если рассмотреть две характеристики, то

вещественной частотной характеристике с захватом наибольших спектров частот (более широкая переходная характеристика) соответствует менее длительный переходный процесс. Чем шире Р(), тем быстрее происходит затухание, т.е. тем меньше время переходного процесса.

4. Установившееся значение h() соответствует значению вещественной частотной характеристики при частоте =0

.

5. Если вещественная частотная характеристика Р() является монотонно убывающей функцией и Р()=0, то переходная характеристика имеет апериодический характер. Для апериодического процесса

В  этом случае перерегулирование  .

6. Если Р() - является положительной невозрастающей функцией, то переходная характеристика имеет вид затухающих колебаний:

П  еререгулирование составляет  .

7. Если вещественная характеристика Р() имеет явно выраженный max

, то переходная характеристика будет иметь вид затухающих колебаний и перерегулирование  .

8. Общим условием для немонотонности переходной характеристики (колебательности) является: частотная характеристика Р() на каком-то этапе должна быть меньше G(), которая определяется как

. Здесь   - наибольшее целое число от деления.

9. Е  сли Р() претерпевает разрыв, то система находится на границе устойчивости. 

10. Склонность к колебаниям (h_max) тем выше, чем больше пик P_max. 

11. Для монотонного (апериодического переходного процесса) время переходного процесса составляет

.

12. Если Р() может быть аппроксимирована трапецией вида

т  о длительность переходного процесса определяется неравенством:  .

13. Е  сли вещественную характеристику Р() можно разложить на ряд трапеций, то по параметрам трапеций можно определить перерегулирование  по ординатам этих трапеций. Все трапеции должны быть прямоугольные. 

, где P_k() - значение высоты трапеции, имеющей на осях Р(),  - положительное значение, P_i() - значение высоты трапеции, имеющей на осях Р(),  - отрицательное значение. 51. Методики оценки качества регулирования. Частотные оценки. Интегральные критерии оценки качества.

Прямые методы оценки качества

• Классический метод;

• операторный метод;

• частотный метод;

• моделирование на ЭВМ.

. Классический метод определения показателей качества

Основывается на решении дифференциального уравнения, описывающего динамику процессов в САУ:   Уравнение (2) сводится к системе дифференциальных уравнений первого порядка и разрешается одним из известных методов. Решение уравнения y(t)=f(t), что и представляет собой переходный процесс. ^