46. Типовые соединения динамических звеньев

При составлении структурных схем динамические звенья в последних, как правило, соединяясь между собой, образуют различные сочетания, хотя всё их многообразие можно свести к трём типам соединений, которые называются типовыми:

— последовательное соединение (рис. 7.7);

— параллельное соединение (рис. 7.8);

— соединение с обратной связью или встречно-параллельное (рис. 7.9).

Далее рассмотрим каждое из них. При последовательном соединении выходная величина каждого из звеньев, кроме последнего, служит входной величиной последующего звена. Рассмотрим последовательное соединение звеньев. При этом

где W(t) — передаточная функция совокупности всех звеньев.

Рис. 7.7. Последовательное соединение звеньев

Рис. 8.8. Параллельное соединение звеньев

Рис. 7.9. Соединение с обратной связью

В связи с этим можно записать

тогда

то есть W(S) = W₁(S)·W₂(S).

Аналогично проводятся исследования и при большом числе звеньев. При этом общая передаточная функция при последовательном соединении n звеньев будет

т.е. передаточная функция системы, состоящей из последовательно включённых звеньев, равна произведению передаточных функций этих звеньев.

При параллельном соединении все звенья имеют одну и туже входную величину, а их выходные величины суммируются (см. рис. 7.8), при этом:

,

откуда x₄(t) = x₂(t) + x₃(t). Тогда x₂(t) = W₁(S)·x₁(t); x₃(t) = W₂(S) + x₁(t).

Окончательно получаем

Аналогично проводят исследования при большем количестве параллельно соединённых звеньев, тогда для n параллельно соединённых звеньев

Следовательно, передаточная функция параллельно соединённых звеньев будет суммой передаточных функций звеньев, входящих в соединение.

При соединении с обратной связью (рис. 7.9) имеет место прямая цепь передачи сигналов и цепь обратной связи, которая является либо положительной либо отрицательной, тогда

x₂(t) = x₁(t) ± x_n(t); ; ,

В выражении, стоящем в знаменателе формулы, знак "+" принимается при отрицательной обратной связи, а знак "–" — при положительной обратной связи. В общем случае передаточная функция соединений с обратной связью определяется отношением передаточной функции прямой цепи к сумме или разности единицы и произведения передаточных функций прямой цепи и цепи обратной связи.

47. Типовые воздействия. Временные и частотные характеристики.

Типовые входные воздействия. Для оценки динамических свойств системы и отдельных звеньев принято исследовать их реакцию на типовые входные воздействия. Наиболее распространенными типовыми воздействиями являются ступенчатое, импульсное и гармоническое. Любой сигнал u(t), имеющий сложную форму, можно разложить на сумму типовых воздействий u_i(t) и на основании принципа суперпозиции получить результирующее изменение выходной величины y(t) в виде суммы реакций системы на каждую из составляющих.

Рис. 3.2.1.

Единичная ступенька. Особое значение в теории автоматического управления имеет ступенчатое воздействие 1(t) = 1 при t≥0, 1(t) = 0 при t<0 (сигнал u₁(t) на рис. 3.2.1). Все остальные воздействия могут быть сведены к нему. Так, например, импульсный сигнал может быть представлен двумя ступенчатыми сигналами одинаковой величины противоположными по знаку, поданными один за другим через интервал времени t(сигнал u(t) на рис. 3.2.1).

Преобразование Лапласа для единичной ступеньки:

1(p) = exp(-pt) dt = 1/p. (3.2.8)

Линейно нарастающее воздействие (t(t)=t при t≥0, t(t) = 0 при t<0) представляет собой интеграл по времени от единичной ступеньки:

t(t) = 1() d, 1(t) = d t(t) /dt.

Преобразование Лапласа:

t(p) = t exp(-pt) dt = 1/p². (3.2.9)

Экспоненциальная функция exp(t). Преобразование Лапласа:

L[exp(t)] = exp(t) exp(-pt) dt = 1/(p-). (3.2.10)

Выражение справедливо и при любом комплексном α.

Гармонические воздействия sin ωt и соs ωt.

На основе формулы Эйлера exp(jωt) = cos ωt + j sin ωt соответственно имеем cos ωt = Re exp(jωt), sin t = Im exp(jt). Преобразования Лапласа:

L[sin ωt] = L[Im e^jωt] = Im L[e^jωt] = Im (1/(p-jω)) = Im((p+jω)/(p²+ω²)) =

= Im(p/(p²+ω²)+jω/(p²+ω²)) = ω/(p²+ω²).

L[cos ωt] = Re L(e^jωt) = Re (1/(p-jω)) = Re((p+jω)/(p²+ω²)) = p/(p²+ω²).

Дельта - функция δ(t) - математическая модель очень короткого конечного воздействия большой мощности (единичный импульс). Определение δ(t)-функции даётся через интеграл свёртки с любой другой интегрируемой функцией x(t):

(t-t₀) x(t) dt = x(t₀).

Отсюда, при x(t)=1:

(t) dt = 1, (t) exp(-pt) dt = 1, L[(t)] = 1. (3.2.11)

Единичный импульс физически представляет собой очень узкий импульс, ширина которого стремится к нулю, а высота - к бесконечности, ограничивающий единичную площадь. Дельта - функция связана с единичной ступенчатой и линейно-нарастающей функцией выражением:

(t) = d1(t) /dt = d² t(t) /dt².