14. Линеаризация на примере функции одной и нескольких переменных.

Во многих случаях нелинейные дифференциальные уравнения можно линеаризовать, т.е. заменить исходные нелинейные уравнения линейными, приблизительно описывающими процессы в системе.

Линеаризацию гладких статических характеристик можно осуществить либо по методу касательной, либо по методу секущей.

Пусть дана нелинейная характеристика:

y

Y₀

x

X₀

Исходную нелинейную зависимость можно разложить в ряд Тейлора в окрестностях точки установившегося режима, и, отбросив члены ряда выше первого порядка, получить следующую приближенную зависимость:

,

где - значение производной функции по x при подстановке в выражение этой производной x = x₀.

При расчете автоматических систем удобно линейные статические характеристики рассматривать в отклонениях переменных y и x от их значений y₀ и x₀.

Тогда это уравнение можно переписать в таком окончательном виде:

Произведенная линеаризация (методом касательных) имеет простую графическую интерпретацию: действительная нелинейная характеристика заменяется касательной к ней в точке, соответствующей установившемуся режиму. Коэффициент к равен тангенсу угла наклона этой касательной относительно оси абсцисс.

В более общем случае звено описывается нелинейным уравнением, включающим производные по времени от входных и выходных величин:

После разложения нелинейной функции в левой части уравнения в ряд Тейлора в точке установившегося режима, получим следующее линейное дифференциальное уравнение для приращений переменных:

Линеаризации применяется только для малых отклонений, то есть полученные в результате линеаризации уравнения пригодны для приближенного исследования только таких режимов в системах, при которых переменные величины на входе звеньев претерпевают достаточно малые отклонения от установившихся значений. Во-вторых, линеаризация применима только к непрерывно дифференцируемым нелинейностям.

14. Методы поиска экстремума функции многих переменных.

Методы:

1. Метод координатного спуска

2. Градиентный метод

3. Методы линеаризации

1. Экстремумы функций многих переменных

Для начала рассмотрим необходимые условия экстремума функции, также определим понятие экстремума. Начнем с понятия экстремума:

Положим, что имеется некоторая функция с двумя переменными

Определение: Точка называется точкой экстремума (максимума или минимума)

функции , если есть соответственно наибольшее или наименьшее значение функции в некоторой окрестности точки .

При этом значение называется экстремальным значением функции (соответственно максимальным или минимальным). Говорят также, что функция имеет в точке экстремум (или достигает в точке экстремума).

Заметим, что в силу определения точка экстремума функции лежит внутри области определения функции, так что функция определена в некоторой (хотя бы и малой) области, содержащей эту точку.