11. Постановка та математична модель закритої тз. Теорема про існування розв’язку тз.
ТЗ называется закрытой, если суммарный спрос равен суммарной предложения: ∑nj=1bj = ∑i=1mai Чтобы составить математическую модель, введем матрицу переменных Х = || хij ||, где хij - планируемый объем перевозок от Ai к Bj. Очевидно, что размерность этой матрицы m *n и матрица определяет искомый план перевозок. Найдем выражение количества товаров, чтo вывозится от Ai. Первом потребителю запланировано поставку хі1,, второму - хі2 і т.д., п-му – х1п. Сумма этих величин хі1 + хі2 + ... + х1п,, или в сокращенной записи ∑nj=1xij определяет запланирован вывоз товара от Ai. По условию задачи весь товар надо вывезти, следовательно, должно выполняться условие ∑nj=1xij=ai (i=1,m)
Аналогично запланированное количество товара, поступающего в Bj, состоит из поставок от А1 - х1j, от А2 - х2j, от Аm - хmj. Сумма х1j + х2j + ... + хmj = Σmj = 1xij - это количество товара, которое направляется в Bj. Поскольку всех потребителей надо удовлетворить, получаем следующую систему ограничений: Σmj = 1xij = bj (j = 1, n). При этом xij ³ 0 (i = 1, m; j = 1, n). Тариф перевозок, то есть стоимость перевозки единицы товара по маршруту АиBj составляет сij. Если по этому маршруту перевозится xij единиц товара, то затраты составят сijxij. Выражение Σmj = 1 cij xij отображает стоимость перевозок от Аи ко всем Bj. Подытоживая его j, получаем стоимость перевезеньΣnj = 1Σmi = 1 cij xij Согласно условию задачи нужно найти план, который обеспечивает минимум транспортных расходов, следовательно, целевая функция задачи имеет вид Z = Σnj = 1Σmi = 1 cij xij (min). Б-я ТЗ имеет развязок.
Классическая транспортная задача ЛП формулируется следующим образом. Имеется m пунктов производства (поставщиков) и n пунктов потребления (потребителей) однородного продукта. Заданы величины:
ai - объем производства (запас) i-го поставщика, i=1, m ; bj - объем потребления (спрос) j-го потребителя, i=1, n ;
cij - стоимость перевозки (транспортные затраты) единицы продукта от i-го поставщика к j-му потребителю.
Требуется составить такой план перевозок, при котором спрос всех потребителей был бы выполнен и при этом общая стоимость всех перевозок была бы минимальна. Математическая модель транспортной задачи имеет вид
Транспортная задача, в которой суммарные запасы и суммарные потребности совпадают, называется закрытой моделью; в противном случае - открытой. Открытая модель решается приведением к закрытой.
В случае, когда
суммарные запасы превышают суммарные
потребности, т.е.
вводится
фиктивный n+1 потребитель, потребности
которого
В
случае, когда суммарные потребности
превышают суммарные запасы, т.е.
,
вводится фиктивный m+1 поставщик, запасы
которого
Стоимость перевозки единицы груза как до фиктивного потребителя, так и стоимость перевозки единицы груза от фиктивного поставщика
полагают равными нулю, так как груз в обоих случаях не перевозится.
Прежде чем решать транспортную задачу, необходимо проверить, к какой модели она принадлежит, и если необходимо, то привести ее к закрытой модели.
Теорема 1.
Базисное решение закрытой модели транспортной задачи содержит m+n-1 базисных компонент. Доказательство.
Количество
базисных компонент определяется число
линейно-независимых ограничений задачи.
В транспортной задаче не все m+n ограничений
линейно-независимы. Действительно,
сложив первые m ограничений и
следующие n ограничений задачи, получим
Но
в закрытой модели выполняется балансовое
равенство
поэтому
получаем, что нетривиальная линейная
комбинация строк ограничений (линейная
комбинация с ненулевыми коэффициентами)
равна нулю. Это означает, что среди
ограничений задачи есть линейно-зависимое
ограничение. Следовательно, число
линейно-независимых ограничений равно
m+n-1 и базис задачи состоит из m+n-1
компонент.
Теорема доказана В силу специфики содержательной постановки транспортной задачи допустимое решение называется планом, базисное допустимое решение называется опорным планом, оптимальное решение называется оптимальным планом.
Теорема 2.
Оптимальный план закрытой модели транспортной задачи существует всегда. Доказательство.
Оптимальное решение задачи ЛП существует, если, во-первых, существует допустимое решение и, во-вторых, целевая функция ограничена на этом допустимом решении. Покажем существование допустимого решения. Так как
суммарные запасы совпадают с суммарными потребностями, то всегда можно найти такой план перевозок, который будет допустимым решением (все запасы вывозятся и все потребности выполняются в силу балансового равенства).
Покажем ограниченность целевой функции.
Так как
следовательно
L ограничена снизу нулем для всех
допустимых решений. Теорема доказана