48.Функция, график функции, способы задания функции, обратная функция.
Функцией называют такую зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменно у. переменную х называют независимой переменной или аргумент, а переменную у – зависимая или функция.
Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости абсциссы, которые равны значению аргумента, а ординаты соответствуют значению функции.
Функция считает заданной, если задано множество значений принимаемых независимой переменной и задано соответствие между значением аргумента и функцией.
Существует три способа задания функции: аналитический табличный, графический.
При аналитическом способе соответствие задается в виде формулы.
Табличный способ наиболее часто используется при проведении экспериментальных исследований. При этом данные заносятся в таблицу, составленную из двух строк: 1 – значение аргумента, 2 – значение зависимой.
49.Формулы объема шарового слоя и шарового сектора.
Чтобы вывести формулу для вычисления объема шарового слоя дадим понятие шаровому сегменту. Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаема от него какой-нибудь плоскостью. Круг, получившийся в сечении, называется основанием каждого из этих сегментов, а длина отрезка перпендикулярного к секущей плоскости – высотой сегмента.
Объем шарового сегмента вычисляется по формуле
Шаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя параллельными секущими плоскостями. Чтобы найти объем шарового сегмента необходимо найти два объема шарового слоя, а затем вычесть из первого объема второй.
Шаровым сектором называется тело, полученное вращением кругового сектора с углом, меньшим 90о, вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих круговой сектор радиусов.
Объем шарового сектора вычисляется по формуле
50.Функция, свойства функции, понятие возрастающей (убывающей) функции.
Функцией называют такую зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменно у. переменную х называют независимой переменной или аргумент, а переменную у – зависимая или функция.
Пусть функция y = f(x) определена и непрерывна в промежутке х и во всех внутренних точках этого промежутка имеет неотрицательную производную, причем равенство f’(x) = 0 выполняется не более чем в конечном числе точке этого промежутка. Тогда функция возрастает на промежутке х.
Пусть функция y = f(x) определена и непрерывна в промежутке х и во всех внутренних точках этого промежутка имеет положительную производную причем равенство f’(x) = 0 выполняется не более чем в конечном числе точек этого промежутка. Тогда функция y = f(x) убывает на промежутке х.
Для нахождения промежутков монотонности функции нужно:
Найти производную функции
Приравнять производную к нулю и решить уравнение
Отметить на числовой прямой корни уравнения
Определить знаки получившихся интервалов и записать ответ
51.Формулы объема шара и шарового сегмента.
Объем
шара вычисляет по формуле 
.
Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаема от него какой-нибудь плоскостью. Круг, получившийся в сечении, называется основанием каждого из этих сегментов, а длина отрезка перпендикулярного к секущей плоскости – высотой сегмента.
Объем шарового сегмента вычисляется по формуле
52.Функция, свойства функции , понятие о точках максимума(минимума) функции , правила нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции.
Функцией называют такую зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменно у. переменную х называют независимой переменной или аргумент, а переменную у – зависимая или функция.
Говорят, что функция y=f(x) имеет максимум и минимум в точке х = а, если у этой точки существует окрестность, в которой f(x)<f(a) (f(x)>f(a)) для х ≠ а. Точки максимума и минимума объединяют общим термином точки экстремума.
Если функция y=f(x) имеет экстремум в точке х = а, то либо f’(a)>0, либо f’(a) не существует. Это необходимое условие экстремума.
Точки, в которых f’(a)>0 называют стационарными, в точки в которых f’(a) не существует и которые принадлежат области определения функции называют критическими. Экстремумы функций могут достигаться только в стационарных или критических точках.
Пусть х = а стационарная или критическая точка функции y=f(x) и пусть существует интервал (b;c) соединяющий точку а внутри себя и такой, что на каждом из интервалов (b;a) и (a;c) производная f’(x) существует и сохраняет постоянный знак. Следует, что
Если на (b;a) производная y’ > 0, а на (а;с) производная y’< 0, то х = а точка максимума функции y = f(x)
Если на (b;a) производная y’ < 0, а на (а;с) производная y’> 0, то х = а точка минимума функции y = f(x)
Если на (b;a) и (а;с) производная y’ > 0 или y’< 0, то х = а не является точкой экстремума функции y = f(x). Это достаточное условие экстремума.
Чтобы найти экстремумы функции необходимо:
Найти производную функции
Приравнять производную к нулю и найти корни
Подставить полученные корни в функцию и просчитать
Выбрать точки максимума и минимума.
53.Событие, вероятность событий, сложение и умножение вероятностей.
Событие – это факт, который при осуществлении определенных условий может произойти или нет. Событие обозначают большими буквами латинского алфавита.
Теория
вероятности позволяет измерять степень
правдоподобия (или вероятности) различных
событий. Вероятность – это количественная
оценка возможности появления данного
случайного события. Вероятность
возникновения случайного события –
это отношение числа благоприятных
исходов к общему числу исходов. Вычисляется
по формуле P
= 
,
где m
– число благоприятных исходов, а n
– общее число исходов.
54.Показательная функция, ее свойства и график.
Показательная функция задается формулой y = ax, где а > 0 и а≠1 и имеет следующие свойства:
Область определения функции – вся числовая прямая
Область значений функции – промежуток (0; ∞)
Функция не является ни четной, ни нечетной.
Функция возрастает на всей числовой прямой
Функция не периодична
Нули функции не существует
Точек экстремумов нет
55.Событие. Понятие о независимости событий. Дискретная случайная величина.
Событие – это факт, который при осуществлении определенных условий может произойти или нет. Событие обозначают большими буквами латинского алфавита.
Два события A и B называют независимыми, если появление одного из них никак не влияет на появление другого. В противном случае события зависимы.
Случайные величины делятся на 2 разновидности:
Непрерывные, чаще всего функциональные величины, которые могут приносить любые значения в некотором интервале.
Дискретные, которые приносят только конкретные значения, заранее оговоренные значения.
56.Степенная функция, ее свойства и график.
Степенной функцией с вещественным показателем a называется функция y = x n , x > 0.
Заметим, что для натуральных n степенная функция определена на всей числовой оси.
Для произвольных вещественных n это невозможно, поэтому степенная функция с вещественным показателем определена только для положительных x .
К основным свойствам степенной функции y = x a при a > 0 относятся:
Область определения функции - промежуток (0; + ).
Область значений функции - промежуток (0; +).
Для любых a график функции проходит через точку (1; 1).
Функция строго монотонно возрастает в области определения функции, то есть, если x1 < x2 то ar1 < ar2 .
График степенной функции при a > 0 изображен на рисунке.
К основным свойствам степенной функции y = x a при a < 0 относятся:
Область определения функции - промежуток (0; +).
Область значений функции - промежуток (0; +).
Для любых a график функции проходит через точку (1; 1).
Функция строго монотонно возрастает в области определения функции, то есть, если x1 < x2 то ar1 > ar2 .
График степенной функции при a < 0 изображен на рисунке.
Справедливы следующие свойства степенной функции:
xa1xa2 = xa1 + a2
xa1 : xa2 = xa1 - a2
(xa1)a2 = xa1 a2
xa1 > xa2, x > 1, a1 > a2
xa1 < xa2, 0 < x < 1, a1 < a2
57.Математическое ожидание дискретной случайной величины.
Дискретные величины приносят только конкретные значения, заранее оговоренные значения.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины х называется сумма произведения значений х на вероятности этих значений. Обозначается М(х).
58.Равносильность уравнений и неравенств (определения уравнения, неравенства, равносильности). Примеры.
Равносильность уравнений и неравенств.
Два уравнения ( неравенства) называются равносильными, если совпадают множества всех их решений или они оба не имеют решений. Из определения равносильности следует, что вместо того, чтобы решать данное уравнение (неравенство), можно решать уравнение (неравенство), ему равносильное.
Пример 1.
Уравнение x=1 равносильно уравнению x=1, так как число 1 является корнем каждого уравнения, а других корней ни одно из этих уравнений не имеет.
Уравнения x(x-1)=0 и x(x-1)(x-2)=0 не являются равносильными, т.к. число x=2 - корень второго уравнения, но не корень первого.
В определении равносильности не сказано об ОДЗ уравнений, т.е. равносильные уравнения могут иметь различные области допустимых значений.
При решении уравнений вместо понятия равносильности проще использовать понятие равносильности на множестве: два уравнения (неравенства) называются равносильными на множестве А, если совпадают множества всех их решений, принадлежащих множеству А, или они оба не имеют решений на множестве А. [6]
Уравнения (неравенства) могут быть равносильными на некотором множестве, но не быть равносильными. Например: уравнения x=1 и |x|=1 равносильны на множестве всех неотрицательных чисел, но не равносильны.
Уравнение (неравенство) равносильно данной совокупности уравнений (неравенств, систем) на множестве А, если множество всех корней уравнений (неравенств), принадлежащих А, совпадает со множеством всех решений совокупности уравнений (неравенств, систем), принадлежащих множеству А.
Утверждения о равносильности [6].
1. Уравнения f(x)=g(x) и f(x)-g(x)=0 равносильны.
2. Уравнения f(x)=g(x) и f(x)+=g(x)+ равносильны для любого числа .
3. Уравнения f(x)=g(x) и f(x)=g(x) равносильны для любого числа 0.
4. Уравнения af(x) =ag(x) и f(x)=g(x) равносильны для любого числа a>0, a 1.
5. Если функции y=f(x) и y=g(x) неотрицательны на некотором множестве А. Тогда
уравнения f(x)=g(x) и fn(x)=gn(x) равносильны на этом множестве.
6. Если функции y=f(x) и y=g(x) положительны на некотором множестве А. Тогда
уравнения f(x)=g(x) и logaf(x)=logag(x) равносильны на этом множестве.
7. Пусть функция y=(x) определена и не обращается в ноль ни в одной точке множества А, содержащемся в ОДЗ уравнения f(x)=g(x). Тогда на множестве А уравнения f(x)=g(x) и f(x)(x)=g(x)(x) равносильны на этом множестве. Множество А может совпадать с ОДЗ исходного уравнения.
Утверждения о равносильности неравенств [6].
1. Неравенства f(x)<g(x) и g(x)<f(x) равносильны.
2. Неравенства f(x)<g(x) и f(x)-g(x)<0 равносильны.
3. Неравенства f(x)<g(x) и f(x)+(x)<g(x)+(x) равносильны если функция (x) определена на ОДЗ неравенства f(x)<g(x).
4. Неравенства f(x)<g(x) и (x)f(x)<(x)g(x) равносильны, если (x)> 0 при всех x из ОДЗ неравенства f(x)<g(x). Неравенства f(x)<g(x) и (x)f(x)>(x)g(x) равносильны, если (x)< 0 при всех x из ОДЗ неравенства f(x)<g(x).
5. Неравенства f2n(x)<g2n(x) и |f(x)|<|g(x)| (n - натуральное) равносильны.
6.. Пусть a - фиксированное число из промежутка (1; ) и функции f(x) и g(x) положительны на некотором множестве A, тогда на этом множестве равносильны неравенства f(x)<g(x) и logaf(x)<logag(x). Если a - фиксированное число из промежутка (0;1) и функции f(x) и g(x) положительны на некотором множестве A, тогда на этом множестве равносильны неравенства f(x)<g(x) и logaf(x)>logag(x).
59.Многогранники. Выпуклый, невыпуклый многогранник, правильный многогранник. Примеры.
Многогранник или полиэдр — обычно замкнутая поверхность, составленная из многоугольников, но иногда также называют тело, ограниченное этой поверхностью.
Определение
Многогранник, точнее трёхмерный многогранник — совокупность конечного числа плоских многоугольников в трёхмерном евклидовом пространстве такая, что:
каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого (но только одного), называемого смежным с первым (по этой стороне);
связность: от любого из многоугольников, составляющих многогранник, можно дойти до любого из них, переходя к смежному с ним, а от этого, в свою очередь, к смежному с ним, и т. д.
Эти многоугольники называются гранями, их стороны — рёбрами, а их вершины — вершинами многогранника. Простейшими примерами многогранников являются выпуклые многогранники, то есть граница ограниченного подмножества евклидова пространства являющееся пересечением конечного числа полупространств.
Варианты значения
Приведенное определение многогранника получает различный смысл в зависимости от того, как определить многоугольник, для которого возможны следующие два варианта:
Плоские замкнутые ломаные (хотя бы и самопересекающиеся);
Части плоскости, ограниченные ломаными.
В первом случае мы получаем понятие звёздчатый многогранник. Во втором — многогранник есть поверхность, составленная из многоугольных кусков. Если эта поверхность сама себя не пересекает, то она есть полная поверхность некоторого геометрического тела, которое также называется многогранником. Отсюда возникает третье определение многогранника, как самого геометрического тела.
Связанные определения
Многогранник с гранями называют -гранник.
В частности, тетраэдр это пример четырёхгранника, додекаэдр — двенадцатигранник, икосаэдр — двадцатигранник и т.д.
Выпуклый многогранник
Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости его граней.
Вариации и обобщения
Понятие многогранника индуктивно обобщается по размерности, и обычно называется n-мерный многогранник.
Бесконечный многогранник допускает в определении конечное число неограниченных граней и рёбер
Криволинейные многогранники допускают криволинейные рёбра и грани.
Сферический многогранник.