21.Двугранный угол. Пример

Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащей одной плоскости. Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются его гранями. У двугранного угла две грани. Прямая а – общая граница полуплоскостей – называется ребром двугранного угла.

В обыденной жизни мы часто встречаемся с предметами, имеющими форму двугранного угла. Такими предметами являются двускатные крыши зданий, полураскрытая папка, стена комнаты совместно с полом и так далее.

Измерение двугранного угла происходит следующим образом. Отметим на ребре двугранного угла какую-нибудь точку и в каждой грани из этой точки проведем луч перпендикулярно ребру. Образованный этими лучами угол называется линейным углом двугранного угла. Плоскость линейного угла перпендикулярна к ребру двугранного угла. Двугранный угол имеет бесконечное множество линейных углов. Все они равны друг другу.

Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла. Двугранный угол может так же быть прямым, острым и тупым в соответствии с его градусной мерой.

22.Основные понятия комбинаторики. Факториал. Задачи на подсчет числа размещений, сочетаний, перестановок.

Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются задачи выбора элементов из данного множества и размещение этих элементов в каком-либо порядке. Существует насколько способов комбинаторики: перестановка, размещение и сочетание.

Перестановка – операция над упорядоченным порядком из n-элементов, в процессе которых «списочный состав» ряда не меняется, но «места» объектов в этом ряду изменяются от варианта к варианту. Вычисляется по формуле P_n = n!.

Пример: сколько трехзначных чисел модно составить из цифр 1,2,3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?

Иногда задача заключается в упорядочивании не всех объектов, а лишь некоторой последовательности. Такие последовательности называются размещением. Размещением из n-элементов по m-элементам ( называют конечное упорядоченное множество, содержащие m-элементов выбранных из n-элементов множества А. Вычисляется размещение по следующей формуле:

, в которой n – общее количество, а m – количество выбираемых элементов.

Данной формулой можно пользоваться, если выбираемые элементы должны быть в определенном порядке.

Пример: сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, если брать по два.

Иногда возникает необходимость не учитывать порядок следования элементов в размещении. Такие последовательности называют сочетанием. Сочетание вычисляется по формуле:

, в которой обозначения букв те же самые, что и в размещении.

Пример: скольким количеством способов можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей.

Числа размножений, перестановок и сочетаний связаны между собой следующей формулой P_n.

Факториал числа – обозначается n! – это произведение всех натуральных чисел до n включительно.

23.Логарифмическая функция, ее свойства и график.

Если функция y = f(x) определена и возрастает (убывает) на промежутке X и областью ее значений является промежуток Y, то у нее существует обратная функция, причем обратная функция определена и возрастает (убывает) на Y.

Показательная функция y = a^x, где а > 0 и а ≠ 1, обладает всеми свойствами, которые гарантируют существование обратной функции:

область определения (- ; )

область значений (0; )

функция y = a^x монотонна

Эти свойства обеспечивают существование функции, обратной к показательной, определенной на (0; ) и имеющей областью своих значений множество (- ; ).

Логарифмическая функция y = log _a x является обратной к показательной функции y = a^x и обладает следующими свойствами:

область значений (- ; )

область определения (0; )

функция возрастает при а > 1 и убывает при 0 < а < 1

График функции y = log _a x может быть получен из графика функции y = a^x с помощью преобразования симметрии относительно прямой y = x.