19.Предел. Вычисление пределов в тех случаях, когда непосредственное применение теорем не приводит к определенным результатам

Предел позволяет определить характер поведения функции при приближении аргумента к некоторой точке. Обозначается lim f(x). Если мы говорим, что значение стремится к чему-либо, то мы приближаем его, если в процессе своего изменения х неограниченно приближается к А.

Число А называется пределом функции y = f(x) в точке х₀, если для любого числа ɛ > 0 существует такое число M, что для любого х = х₀ удовлетворяющего неравенству (х – х₀) < М выполняется неравенство | f(x)-b | < ɛ .

То, что функция f(x) в точке х₀ имеет предел равный А обозначают . Таким образом понятие предела функции дает возможность ответить на вопрос к чему стремится значение функции, когда значение аргумента стремится к х₀.

Часто бывает что функция f(x) не определена, при х→n. Однако предел существует. Для этого необходимо предварительно преобразовать функцию.

Выражение вида не имеет смысла и носит название неопределенность вида . В данном случае находим корни квадратного уравнения числителя и преобразуем его к стандартному виду (x-x₁)(x-x₂).

Если предел стремится к бесконечности, то мы имеем неопределенность вида . Однако предел функции существует. Для этого нужно преобразовать исходную функцию (обычно делением на переменную). Бесконечность принимаем за 0 и находим предел.

2.Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Примеры.

В пространстве две прямые могут быть расположены так, что они не лежат в одной плоскости, то есть не существует такой плоскости, которая проходит через обе эти прямые.

Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямы скрещивающиеся.

Возможны три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве:

Прямые пересекаются и имеют одну общую пару

Прямые параллельные

Прямые скрещиваются

Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой, и при этом только одна.

20.Понятие производной. Физический и геометрический смысл. Основные правила дифференцирования

Если существует предел отношения приращения функции ∆f к приращению аргумента ∆х при условии, что ∆х→0, то этот предел называют значением производной функции y = f(x) в точке х и обозначают f’(x) или y’, а функцию y = f(x) называют дифференцированной в точке х.

f’(x) – это новая функция, определенная во всех таких точках х, в которых существует указанный выше предел.

Операцию по нахождению производной называются дифференцированием.

Производная y = f(x) в точке х выражает скорость изменения функции в точке х, то есть скорость протекания процесса, описываемого зависимостью y = f(x). В этом состоит физический смысл производной.

Значение производной функции y = f(x) в точке х = а равно угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в точке x = a. В этом состоит геометрический смысл производной.

Основные правила дифференцирования:

С (сonst) = 0

kх = k

xⁿ = nx^n-1

e^x= e^x

a^x = a^x ln a

ln x =