2.Пирамида, ее основания, боковые ребра, высота. Правильная пирамида. Усеченная пирамида.

Пирамидой называется многогранник, одна грань которого (основание) – многоугольник, а остальные грани (боковые) – треугольники, имеющие общую вершину (вершину пирамиды) – точку пересечения отрезков (боковых ребер), соединяющих ее с вершинами.

Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из ее вершины на плоскость основания.

Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней (т.е. основания и боковых граней), в площадью боковой поверхности пирамиды сумма площадей ее боковых граней.

Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник, а ее высота проходит через центр основания. Все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту.

Тело, ограниченное сечением, проведенным в пирамиде параллельно основанию, основанием пирамиды, и заключенной между ними боковой поверхностью, называются усеченной пирамидой.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на высоту.

3. Развитие понятия числа (натуральные, целые, рациональные, иррациональные, комплексные, действительные)

Числа 1, 2, 3, 4, 5, …, использующиеся для счета предметов или для указания порядкового номера того или иного предмета среди однородных предметов, называют натуральными. Любое натуральное число в десятичной системе счисления записывают с помощью цифр от 0 до 9.

Натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5, … называют также положительными целыми числами. Числа -1, -2, -3, -4, -5, …, противоположные натуральным, называют отрицательными целыми числами. Число 0 также считают целым числом. Итак, целые числа – это натуральные числа, числа, противоположные натуральным, и число 0.

Целые числа и дроби (положительные и отрицательные) составляют вместе множество рациональных чисел. Для измерения используются не только рациональные числа, но и числа иной природы, то есть не являющиеся целыми или дробными. Все такие числа называют иррациональными. Рациональные и иррациональные числа составляют вместе множество действительных чисел.

Комплексные числа – расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается С. Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма x + iy, где x и y – вещественные числа, i – мнимая единица.

4. Пирамида. Площадь боковой и полной поверхностей пирамиды.

Пирамидой называется многогранник, одна грань которого (основание) – многоугольник, а остальные грани (боковые) – треугольники, имеющие общую вершину (вершину пирамиды) – точку пересечения отрезков (боковых ребер), соединяющих ее с вершинами.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на высоту.

5.Комплексные числа и действия над ними

Комплексные числа – расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается С. Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма x + iy, где x и y – вещественные числа, i – мнимая единица.

Суммой комплексных чисел a + bi и a’ + b’i называют комплексное число ( a + a’) + ( b + b’) i.

Разностью комплексных чисел a + bi (уменьшаемое) и a’ + b’i (вычитаемое) называется комплексное число ( a – a’) + ( b – b’) i.

Определение умножения комплексных чисел устанавливается с таким расчетом, чтобы

1) числа a + bi и a’ + b’i можно было перемножать, как алгебраические двучлены

2) число i обладало свойством i²­­­­­ = -1.

В силу требования (1) произведение (a + bi)(a’ + b’i) должно равняться   aa’ + (ab’ + ba’)i + bb’i²­­­ ­, а в силу требования (2) это выражение должно равняться (aa’ – bb’) + (ab’ + ba’)i .

Разделить комплексное число a + bi на комплексное число a’ + b’i – значит найти такое число x + yi , которое, будучи помножено на делитель, даст делимое.

6.Параллелепипед, куб (определение, свойства ребер, граней)

Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов ABCD и A₁B₁C₁D₁(граней) и четырех других параллелограммов (ребра) называется параллелепипедом.

Параллелепипед имеет шесть граней, двенадцать ребер и восемь вершин. Две грани параллелепипеда, имеющее общее ребро, называются смежными, а не имеющие общих ребер – противоположными. Две вершины, не принадлежащие одной грани, называются противоположными. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Каждый параллелепипед имеет четыре диагонали.

Часто выделяют какие-нибудь две противоположные грани и называют их основаниями, а остальные грани – боковыми гранями параллелепипеда. Ребра параллелепипеда, не принадлежащие основаниям, называются боковыми ребрами.

Две грани параллелепипеда называются параллельными, если их плоскости параллельны. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.

Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Куб – это правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат (в частном случае параллелепипед или призма). Все грани и ребра куба равны.

7.Корни. Свойства корней n-й степени.

Арифметическим корнем числа а n-й степени называется такое число b, что bⁿ = a, причем числа a и b могут быть больше или равны нулю, а число n принадлежит к натуральным числам. Число b называют арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа а и обозначают . Число a называют подкоренным числом, а n – показателем корня.

Если , то справедливы следующие свойства корней n-й степени:

8.Конус, его основание, образующая, высота.

Конусом (круговым конусом) называется тело, состоящее из круга (основания конуса), точки, не лежащей в плоскости этого круга (вершины конуса), и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания.

Отрезки соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса.

Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. Осью прямого конуса называется прямая, содержащая его высоту

9.Понятие о степени с действительным показателем. Свойства степени

Пусть a – действительное число, а n – натуральной число, больше единицы. N-й степенью числа a называют произведение n множителей, каждый из которых равен a:

Если n = 1, т о полагают a^{1 =} a.

Число a – основание степени, n – показатель степени.

Справедливы следующие свойства степени с действительным показателем:

10.Конус. Площадь конической и полной поверхности конуса

Конусом (круговым конусом) называется тело, состоящее из круга (основания конуса), точки, не лежащей в плоскости этого круга (вершины конуса), и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания.

За площадь конической (боковой) поверхности конуса принимается площадь ее развертки. Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.

Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания.

11.Понятие о степени с рациональными показателями. Свойства степени

Пусть a – рациональное число, а n – натуральной число, больше единицы. N-й степенью числа a называют произведение n множителей, каждый из которых равен a:

Если n = 1, то полагают a^{1 =} a.

Число a – основание степени, n – показатель степени.

Справедливы следующие свойства степени с действительным показателем:

12.Сфера и шар. Площадь сферы

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. Данная точка называется центром сферы, а данное расстояние – ее радиусом. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы.

Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Центр, радиус и диаметр сферы так же называется центром, радиусом и диаметром шара.

За площадь сферы примем предел последовательности площадей поверхностей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера каждой грани.

13.Логарифм числа, свойства логарифма. Основное логарифмическое тождество

Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени, в которую надо возвести число a чтобы получить число b.

Логарифмом числа b по основанию a называется такое число x, при котором выполняется условие .

В качестве основаниям всегда берется только положительное число отличное от единицы.

В записи число a является основанием степени, число [ - показателем степени, в которую надо возвести основание a чтобы получить число b. Следовательно, число x – это логарифм число b по основанию a.

Свойства логарифмов:

Логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей.

Логарифм дроби равен разности логарифмов числителя и знаменателя.

Логарифм степени равен показателю степени умноженном на логарифм основания.

Логарифм числа a по основанию a равен единице.

Логарифм единицы по основанию a равно 0.

Основное логарифмическое тождество:

С помощью свойств логарифма можно логарифмировать выражение составленные с помощью операций умножения, деления и возведения в степень. Иногда приходится искать выражение по его логарифму. Такую операцию называют потенцированием.