2. Кореляційний аналіз у моделюванні тп

При математичному моделюванні одновимірних процесів постає задача представлення в аналітичному чи алгоритмічному вигляді існуючих зв'язків вхід-вихід.

На практиці досить часто вдається обмежитися вивченням лише одного зі зв'язків, який видається основним, прийнявши всю решту за “домішки”. Це відповідає ситуації, коли один-єдиний фактор процесу визначається за суттєвий. В таких випадках дослідження процесу можна проводити з застосуванням методів теорії кореляції (від латинського слова correlatio – співвідношення, взаємозв'язок).

Кореляційний аналіз – це розділ математичної статистики, який розглядає методи вивчення взаємозалежності між досліджуваними ознаками.

Перша основна задача визначення взаємозв'язку полягає у визначенні на основі спостереження над досліджуваними змінними того, як змінювалася би функція зв'язку при зміні одного з аргументів при решті аргументів незмінних в умовах, коли реально ця решта факторів також не лишається абсолютно постійною внаслідок коливань неконтрольованих і некерованих факторів і своєю зміною впливає на досліджувану залежність, що є характерним для стохастичних процесів.

Друга задача – це визначення міри спотворюючого впливу інших факторів на залежність, що нас цікавить.

Задачі пошуку кореляції завжди вирішуються при заданій кількості ознак, яка визначається наявними засобами дослідження і його метою.

Кореляційний аналіз дозволяє визначити форму та силу зв’язку між параметрами технологічного процесу при статистичній залежності між ними, коли кожному значенню одного параметра технологічного процесу відповідає множина значень іншого. Тобто при статистичній залежності один з параметрів технологічного процесу реагує на зміни іншого зміною свого закону розподілу. Вивчення такої залежності полягає в дослідженні зв’язку між параметрами, при якому значення одного з них в середньому змінюється в залежності від того, які значення прийме другий. В загальному вигляді ця залежність виражається рівнянням регресії

Y_x = f(x), (1)

де Y_x - математичне сподівання параметру Y при умові, що параметр X прийняв значення x; f(x) - функція зміни параметру X.

Функція f(x) може бути рівнянням прямої лінії або багаточленом k-го ступеню, або будь-якою іншою кривою. В першому випадку зв’язок між параметрами лінійний, в інших випадках - нелінійний. На практиці зв’язок між параметрами частіше вважають лінійним: при нелінійному зв’язку криву лінеарізують.

Знання форми зв’язку ще не дає повної характеристики залежності між параметрами процесу. Одна й та ж лінія регресії може бути отримана і при функціональному, і при статистичному зв’язку. В першому випадку всі значення параметру X знаходяться на лінії регресії, в другому - вони розсіяні відносно лінії регресії, що визначається впливом неврахованих факторів. Чим сильніше вплив цих факторів, тим значення параметру X лежать далі від лінії регресії. В цих випадках говорять про слабкий або сильний зв’язок між параметрами.

Залежність називається кореляційною, якщо кожному значенню аргументу x відповідає не одне, строга визначене значення функції (як це має місце у випадку детермінованої функціональної залежності), а ряд розподілу функції y. Кажуть, що функція y перебуває у кореляційній залежності від x, якщо:

а) кожному значенню аргументу x відповідає ряд розподілу функції y;

б) із зміною х ці ряди закономірно змінюють своє положення.

Кореляційна залежність виражається у закономірному зміщенні рядів розподілу функції в зв'язку із зміною аргументу. Для визначення поведінки функції треба мати точну оцінку положення рядів розподілу функції по осі 0y.

Слід звернути увагу на те, що кореляційна залежність не обов'язково є причинно-наслідковою. В загальному випадку кореляційна залежність параметрів ТП може спостерігатися у наступних випадках:

1. дві досліджувані змінні являють собою параметр якості виробу і фактор ТП, що впливає на нього. В цьому випадку залежність є причинно-наслідковою. І підтвердження наявності статистично значущої кореляційної залежності рівнозначне підтвердженню суттєвості певного технологічного фактору;

2. дві досліджувані змінні являють собою два параметри якості виробу. Наявність кореляційної залежності між ними може бути як випадковою, так і, що імовірніше, наслідком того, що певні фактори впливають на ці два параметри в одному напрямку;

3. дві досліджувані змінні являють два фактори ТП. Наявність кореляційної залежності між ними може бути як випадковою, так і, що імовірніше, наслідком того, що певні фактори впливають на ці два фактори в одному напрямку.

Інтерпретація фізичного змісту наявності чи відсутності кореляційної залежності виходить за межі кореляційного аналізу і проводиться, виходячи з фізико-хімічних закономірностей досліджуваних процесів.

При вивченні взаємозалежності між двома змінними найзручніше фіксувати результати спостережень у вигляді так званої діаграми розсіювання, або кореляційного поля. Діаграма розсіювання будується таким чином:

1. збираються не менше 25 пар даних – значень характеристик x та y, між якими досліджується взаємозалежність, - знятих при однакових інших параметрах процесу;

2. будується координатна сітка декартової системи координат: осі x та y відповідають досліджуваним змінним; крок сітки вибирається з наступних міркувань: весь інтервал значень змінних повинен вкладатися на графіку, тому значення поблизу початку координат відповідатиме мінімуму, а поблизу закінчення осі – максимуму змінної; інтервал (максимальне значення – мінімальне значення) розбивається на 7-10 рівних підінтервалів, які і задають крок сітки для кожної координатної осі;

3. на графік сітки наносяться експериментально отримані значення у вигляді точок, хрестиків тощо; якщо значення співпадають, використовують концентричні кола тощо.

Після отримання експериментальних результатів досліджень по парі змінних можна, за допомогою кореляційного аналізу, встановити факт наявності і силу кореляційного зв'язку між ними. При визначенні сили зв’язку за основу береться загальний показник мінливості - дисперсія, яка може бути розкладена на дві складові, кожна з яких характеризує дію певних факторів: вплив параметра X на Y та вплив сукупності неврахованих факторів.

Для оцінки сили зв’язку між параметрами використовують ту складову загальної дисперсії, яка оцінює вплив параметра X на Y. Оскільки силу зв’язку зручніше оцінювати в одиницях загальної дисперсії, то таким показником буде кореляційне відношення _y/x:

² _{y/ x} = (² _y/x) / ² _y, (2)

де ²_y/x - теоретичне кореляційне відношення; ²_y - загальна (повна) дисперсія Y відносно умовного середнього значення генеральної сукупності; ²_y/x - дисперсія теоретичної лінії регресії відносно умовного середнього значення генеральної сукупності. Теоретичне кореляційне відношення показує, яка частка повної мінливості Y обумовлена здатністю до зміни параметра X. Його величина знаходиться в межах від 0 до 1.

В частковому випадку, при лінійній формі зв’язку між параметрами теоретичне кореляційне відношення перетворюється в показник, що називають коефіцієнтом кореляції:

r = b _x / _y, (3)

де r- коефіцієнт кореляції; _x, _y - середні квадратичні відхилення параметрів X та Y відповідно; b- коефіцієнт регресії Y по X.

Коефіцієнт регресії показує, на скільки одиниць в середньому змінюється Y при збільшені X на одну одиницю. Коефіцієнт регресії також в певній мірі говорить про силу зв’язку між параметрами, але він - величина розмірна і залежить від вибору одиниць виміру по параметрах X та Y.

На відміну від теоретичного кореляційного відношення коефіцієнт кореляції характеризується знаком (знак при r співпадає з знаком при коефіцієнті регресії). Величина коефіцієнту кореляції знаходиться в межах від -1 до +1. Граничні значення коефіцієнту кореляції свідчать про функціональний зв’язок між параметрами процесу. Вважають зв’язок між параметрами слабким, якщо r  0,3; при r = 0,4 ... 0,6 - середнім, а приr  0,7 - сильним (або тісним). Існують більш деталізовані (з меншими інтервалами значень коефіцієнту кореляції) шкали найменувань для оцінки сили кореляційного зв’язку через величину коефіцієнту кореляції, зоерема, шкала Чедока, за якоюрозрізняють:

Шкала сили кореляційного зв’язку

Значення модуля коефіцієнту кореляції	Сила кореляційного зв’язку шкалою Чедока [6, с. 126]
r  0,1	Відсутня
0,1  r 0,3	Слабка
0,3 r 0,5	Помірна
0,5  r  0,7	Помітна
0,7  r  0,9	Сильна (тісна)
0,9  r  0,99	Дуже сильна (сильна)
0,99  r  1,0	Абсолютна (функціональна)

Таким чином, мета кореляційного аналізу полягає в знаходженні наявності, характеру і сили зв'язку між двома параметрами і визначенні теоретичного кореляційного відношення (або коефіцієнта кореляції) між досліджуваними параметрами. Знаходження рівняння регресії – завдання регресійного аналізу.