3. Перестановки. Перестановки с повторениями. Примеры.

Перестановка n элементов – число размещений из n по n элементов. Находится по формуле .

Пусть у нас есть n элементов m различных типов (в каждом из типов все элементы одинаковы). Пусть - число элементов i-го типа, причем . Тогда перестановкой с повторениями будет называться перестановки всех n элементов с точностью до порядка следования однотипных элементов. Находится по формуле .

4. Сочетания. Сочетания с повторениями. Примеры.

Сочетанием из n по k элементов – число неупорядоченных наборов из m элементов, взятых из n элементов. Находится по формуле .

Сочетанием с повторениями m элементов из n элементов – число неупорядоченных наборов из m элементов, взятых из n элементов, причем, в элементы в наборах могут повторяться. Находится по формуле .

5. Правила суммы и произведения вероятностей. Правило сложения вероятностей: Если события

6. Алгебра событий. Событие. Свойства событий. Совместные и несовместные, зависимые и независимые события, вероятность события.

Случайное событие – такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта каждый раз протекает по-разному. Т.е. иными словами, случайное событие в результате испытания может как произойти, так и не произойти. Для сравнения событий между собой по степени их возможности, нужно связать с каждым из событий число, которое тем больше, чем больше возможность события (вероятность события).

События называются совместными/несовместными, если существует/не существует испытание, при котором оба события реализуются (появление одного из них не исключает/исключает появление другого).

Независимые события – события, для которых вероятность появления одного не зависит от вероятности появления другого. Для зависимых событий вероятность появление одного влияет на вероятность появления другого.

Достоверное (невозможное) событие U(V) – событие, которое точно (не) произойдет в результате испытания.

Суммой (объединением) событий называется такое событие , состоящее в наступлении хотя бы одного события. Произведением (пересечением, совмещением) событий называется такое событие , состоящее в одновременном наступлении всех событий.

Свойства событий:

7. Аксиомы вероятностей.

1. Для каждого события А можно поставить в соответствие число (его вероятность ), причем .

2. .

3. Если события А, В… несовместны, то .

Кроме того, сюда можно отнести и 2 доказанные теоремы:

1. .

2. .

8. Классическое определение вероятности.

Вероятностью события А называется отношения число m несовместных равновероятных элементарных событий, составляющих событие А к общему числу событий n, т.е. . Отсюда еще раз видно, что .

9. Статистическое и геометрическое определения вероятности.

Пусть мы проводим некоторый опыт, состоящий из n испытаний. Пусть при n испытаниях событию A удовлетворяют m испытаний. Тогда отношение называться частотой события А. при большом числе опытов можно полагать, что .

Однако даже такое определение вероятности не всегда удобно. Например, пусть существует некоторая область G, требуется найти вероятность попадания в область g<G. В таком случае .