58. Линейная регрессия. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции.
Пусть дана система случайных
величин
и в результате опытов было получено n
точек
.
Линия регрессии
– график, наилучшим образом описывающий
зависимость между величинами
.
Если линия регрессии как в случае
на
,
так и в случае
на
является прямой, то такая регрессия
называется линейной.
Пусть генеральная совокупность
распределена нормально. ИЗ этой
совокупности извлечена выборка объемом
n и по ней найден
выборочный коэффициент корреляции,
причем он не равен нулю. Требуется
проверить гипотезу о равенстве нулю
генерального коэффициента корреляции
.
Для этого вначале нужно найти наблюдаемое
значение критерия
,
а затем по таблице критических точек
распределения Стьюдента при данном
уровне значимости
и числе степеней свободы k=n-2
найти критическую точку
.
Если
,
то нулевая гипотеза принимается верной,
в противном случае она отвергается.
59. Случайная функция. Дисперсия. Корреляционная функция. Нормированная и взаимная.
Случайная функция X(t) – функция неслучайного аргумента, которая при каждом фиксированном значении аргумента является случайной величиной. Сечение случайной функции – случайная величина, соответствующую фиксированному значению аргумента случайной функции. Характеристики случайной функции – корреляционный и центральный моменты первого и второго порядка. Они являются неслучайными функциями.
Математическое ожидание
случайной функции –
неслучайная функция
,
значения которой при каждом фиксированном
значении аргумента равно математическому
ожиданию сечения, соответствующего
этому же значению аргумента:
.
Дисперсия случайной функции
– неслучайная неотрицательная функция
,
значения которой при каждом фиксированном
значении аргумента равно дисперсии
сечения, соответствующего этому же
значению аргумента:
,
среднеквадратичное
отклонение случайной функции
– корень из дисперсии
.
Центрированная случайная
функция: функция
.
Корреляционная функция
случайной функции –
неслучайная функция
двух независимых аргументов, значение
которой при каждом фиксированном наборе
аргументов равно соответствующему
корреляционному моменту сечений,
соответствующим этим же аргументам:
. При
корреляционная функция превращается
в дисперсию.
Нормированная корреляционная
функция случайной функции
- неслучайная функция двух независимых
аргументов, значение которой при каждом
фиксированном наборе аргументов равно
коэффициенту корреляции сечений,
соответствующих этим же аргументам:
.
Взаимная корреляционная
функция случайной функции
- неслучайная функция двух независимых
аргументов, значение которой при каждом
фиксированном наборе аргументов равно
корреляционному моменту сечений,
соответствующих этим же аргументам:
.
60. Характеристики суммы случайных величин, производной и интеграла от случайной функции.
Математическое ожидание суммы конечного числа величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.
Математическое ожидание суммы случайной функции и случайной величины равно сумме их мат. ожиданий.
Корреляционная функция суммы двух коррелированных случайных функций равна сумме корреляционных функций слагаемых и взаимной корреляционной функции (прибавляется дважды).
Корреляционная функция суммы двух некоррелированных случайных функций равна сумме корреляционных функций слагаемых.
Корреляционная функция случайной функции и некоррелированной с ней случайной величины равна сумме корреляционной функции случайной функции и дисперсии случайной величины.
Случайная величина является
дифференцируемой,
если существует её производная
такая, что
.
Математическое ожидание производной порядка n – производная порядка n от функции математического ожидания.
Корреляционная функция от производной случайной функции – вторая смешанная частная производная от её корреляционной функции.
Взаимная корреляционная функция случайной функции и её производной – частная производная от корреляционной функции по соответствующему аргументу.
Интеграл от случайной
функции по отрезку
- предел в среднеквадратичном интегральной
суммы при стремлении к нулю частного
интервала
:
.
Математическое ожидание от интеграла случайной функции – интеграл от математического ожидания.
Корреляционная функция интеграла от случайной функции – двойной интеграл от её корреляционной функции.
Взаимная корреляционная функция случайной функции и её интеграла – интеграл от корреляционной функции.