Практическое задание

В основе решения задачи об оценке долгосрочных изменений расчетных характеристик многолетнего речного стока в результате климатических вариаций лежит уравнение ФПК (1). Для стационарных случайных процессов эта модель переходит в уравнение Пирсона

, (7)

решением которого является семейство распределений Пирсона III типа и Крицкого–Менкеля для p(Q = 0) = 0, которые используются в инженерной гидрологии. При подходе к уравнению (7) со стороны уравнения ФПК коэффициенты a, b₀, b₁, b₂ связываются формулами с параметрами , , , и приобретают физический смысл. Это открывает возможность рассматривать уравнение (1) как генетическую модель формирования стока, а решение p(Q) уравнение Пирсона с физически обоснованными коэффициентами a, b₀, b₁, b₂ – как теоретическое распределение, с которым согласуется или не согласуется эмпирический набор точек. Важным является то, что можно, меняя факторы формирования стока (климатические или подстилающей поверхности бассейнов) через параметры и , т.е. через осадки и величины, влияющие на коэффициент стока k, оценивать чувствительность к подобным изменениям кривой плотности вероятности.

Стационарность, заложенная в уравнение Пирсона (7), согласуется с тем обстоятельством, что существующие климатические сценарии носят квазистационарный характер, т. е. выделяется временной промежуток, например в 20 лет, и для него указываются значения характеристик (осадков и температуры воздуха) метеовеличин. Другой набор – для следующего интервала и т.д. Таким образом, для каждой «ступеньки» процесс формирования многолетнего стока можно рассматривать как статистически стационарный, т. е. можно считать, что .

Так как в практической гидрологии из-за коротких рядов наблюдений ограничиваются 3–4 моментами вероятностных распределений, то имеет смысл аппроксимировать (7) системой алгебраических уравнений для моментов m_i:

(8)

Этой системы уравнений достаточно для определения всех расчетных гидрологических характеристик: нормы , коэффициентов вариации и асимметрии , а также эксцесса .

Решение задачи разбивается на два этапа: по имеющимся норме стока, коэффициентам вариации и асимметрии (из данных наблюдений или карт) находим значения моментов m_i и по ним выполняем идентификацию параметров модели (8), т. е. вычисляем , , , а затем, меняя в соответствии с климатическим сценарием значения и , находим прогнозные (точнее сценарные) значения моментов . По ним вычисляем прогнозные расчетные распределения и находим обеспеченные значения , отличающиеся от фактических учетом климатических изменений за период эксплуатации проектируемого сооружения.

Ситуацию можно упростить. На практике четвертый момент m₄ не используется, а в отношении коэффициента асимметрии целесообразнее выбрать соотношение C_s/C_v, чем рассчитывать его самостоятельно. Если при обработке фактических рядов (как это рекомендуется нормативными документами) в качестве мотивации исключения непосредственно C_s указывается его низкая точность определения из-за недостаточной продолжительности наблюдений, то в данном случае – это физическая неустойчивость моментов при . Для m₃ неустойчивость возникает при , что прослеживается почти на половине территории России. Поэтому третье и четвертое уравнения разумно (по крайней мере, в первом приближении) опустить, а значит убрать из рассмотрения параметры и . В уравнении Пирсона (7) при этом остается только два параметра и .

Пример.

Рассмотрим створ на р. Сула – г. Лубны с координатами 50с.ш., 33в.д.; площадь водосбора F = 14200 км². По картам (или фактическим рядам наблюдений) находим: = 600 мм; m₁ = 31.1 м³/с (69 мм); C_v = 0.44; .

Пользуясь рекомендациями СП 33-101-2003, находим Q_1% = = 71.4 м³/с (проектный расход 1 %-ой обеспеченности). Необходимо уточнить это значение с учетом возможного изменения климата по сценарию COMMIT на 2050 г. Согласно этому сценарию, в районе проектируемого объекта в интервале 2040–2069 г норма осадков будет 513 мм, а температура приземного воздуха 9.8 С.

Согласно сделанным упрощениям, система (8) вырождается в две простые формулы:

,

(9)

.

Причем, так как год (обычный радиус корреляции для многолетнего годового стока), то , . Сначала, зная m₁, m₂ (31.1 м³/с; 1155 м⁶/с²) и находим и , которые равны соответственно 8.70 и 3265 м⁶/с³.

Затем необходимо определить прогнозное значение коэффициента стока. Используется выражение для коэффициента стока , полученное из уравнения водного баланса для замкнутых речных водосборов ( ). Коэффициент стока связывается с параметрами, которые фигурируют в климатических сценариях (  С и ), путем использования формулы Н.А. Багрова ( (здесь E₀ – испаряемость) и Л. Тюрка ( )):

(10)

(при использовании формулы связи Э. М. Ольдекопа численные результаты практически одинаковы).

Согласно этой формуле прогнозное значение коэффициента стока k_пр составит (принимаем, что в новом климате величина останется прежней, так как в сценарии нет информации о возможном изменении ее или дисперсии осадков). Используя систему (9), находим прогнозные значения начальных моментов = 41.9 м³/с,  = 2040 м⁶/с², а затем по известной формуле (здесь ₂ – второй центральный момент) находим прогнозное значение коэффициента вариации = 0.41 и асимметрии = 0.82.

В результате получаем фактическое и прогнозное распределения кривых обеспеченности (рис. 4) из которых следует, что при таком сценарии будет 91.7 (203 мм), т. е. на 28 % больше значения полученного с помощью СП 33-101-2003. Именно это значение надо закладывать в проект (если бы оно было меньше нормативного, то в целях безопасности следовало бы остановится на последнем).

Рис. 4. Фактическая и прогнозная кривые обеспеченности расхода воды