Вопросы для самопроверки
1. Поясните смысл адаптационного и бифуркационного механизмов развития.
2. Что такое фазовая переменная?
3. Что такое расширение фазового пространства?
Контрольная работа
Цель работы заключается в численном решении уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова (ФПК) для эволюции плотности вероятности стоковых характеристик.
Уравнение ФПК имеет следующий вид:
,
(1)
где p(Q, t) – плотность вероятности; Q – расход воды (слой, модуль стока); t – время; A(Q, t) и B(Q, t) – коэффициенты сноса и диффузии, которые выражаются формулами:
;
(2)
,
(3)
где
и
– интенсивности внутренних, внешних и
взаимная интенсивность шумов, а
и
– математические ожидания (они могут
быть функциями времени).
Уравнение (1) и формулы (2), (3) являются следствиями стохастического обобщения одномерной модели склонового стока с сосредоточенными параметрами
,
(4)
где k – коэффициент
стока; – время
релаксации речного бассейна;
– интенсивность осадков.
Уравнение (4) можно записать в виде стохастического дифференциального уравнения
,
(5)
где
,
причем
,
(здесь
и
– белые коррелированные шумы).
Уравнение (5)
статистически эквивалентно уравнению
ФПК (1), численную реализацию которого
рассмотрим на примере эволюции плотности
вероятности расхода воды в замыкающим
створе речного бассейна при известных
параметрах речного бассейна (k
и ),
заданном ходе дождя
и статистических характеристик шумов
,
.
Для численного решения уравнения (1) используем следующую конечно-разностную аппроксимацию
,
(6)
где i и j – номера расчетных шагов по времени и расходу воды соответственно. Расчетная сетка представлена на рис. 1.
Рис. 1. Расчетная сетка для конечно-разностной аппроксимации (6)
На каждом временном слое (i+1, i+2 и т. д.) происходит вычисление значений плотности вероятности в узлах сетки с координатами (i+1, j; i+1, j+1; …). На границах (для рис. 1 это j–1 и j+k) должны быть заданы граничные условия, а в начальный момент времени t0 (для рис. 1 в слое i) – начальные условия p(Q, t0).
Зададим конкретные значения внешних
воздействий
,
параметров
,
,
k, ,
а также граничные и начальные условия.
Примем
;
;
;
k = 0.49;
= 2. Граничными условиями будут нулевые
значения плотности вероятности на
концах интервала: p(Q
= 97) = 0; p(Q
= 107) = 0. В качестве внешнего воздействия
возьмем ход осадков, представленный на
рис. 2 и в табл. 1.
Рис. 2. Ход осадков, поступающих на водосбор
Таблица 1
Ход осадков, поступающих на водосбор
Время (сут) |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Осадки, м3/с |
201 |
203 |
205 |
207 |
208 |
207 |
205 |
203 |
201 |
200 |
200 |
В начальный момент времени (t = 0) распределение плотности вероятности (гистограмма) имело вид, представленный на рис. 3 (см. также табл. 2).
Рис. 3. Начальное условие для решения уравнения ФПК и результат расчета на первом временном шаге
Таблица 2