Примеры решения задач
Пример 1. Для изучения генеральной совокупности относительно некоторого количественного признака была извлечена выборка:
|
48 |
49 |
50 |
52 |
54 |
|
2 |
4 |
6 |
2 |
1 |
Найти несмещенные оценки генеральной средней и генеральной дисперсии.
Решение.
Несмещенной
оценкой генеральной средней является
выборочная средняя:
.
Несмещенной
оценкой генеральной дисперсии является
исправленная выборочная дисперсия:
Ответ:
, 
.
15.ДОВЕРИТЕЛЬНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ И ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕГРАЛ
Доверительный интервал и доверительная вероятность
Наряду с точечными широко применяют интервальные оценки числовых характеристик случайных величин, выражающеся границами интервала, внутри которого с определенной вероятностью заключено истинное значение результата измерения. Вероятность того, что погрешность не выйдет за границы некоторого интервала, определяется по площади, ограниченной кривой распределения и границами этого интервала, отложенными по оси абсцисс (квантилями), что показано на рис. 1.10.
Рис.1.10.
Таким
образом, интервал 
,
за границы которого погрешность не
выйдет с некоторой вероятностью,
называется доверительным
интервалом,
а характеризующая его вероятность
- доверительной
вероятностью.
Границы этого интервала
называются доверительными
значениями погрешности. При
измерениях можно задаваться доверительным
интервалом и по нему определять
доверительную вероятность, либо,
наоборот, по доверительной вероятности
подсчитывать доверительный интервал.
Чем больше доверительная вероятность,
тем шире доверительный интервал; поэтому
на практике обычно выбирают доверительную
вероятность 0,95 и даже 0,90.
Доверительный
интервал обычно выражают через
относительную величину 
в
долях среднего квадратического отклонения
(“кратность”) 
.
Для нормального закона доверительную
вероятность 
определяют
по значениям интеграла вероятности
(функции Лапласа), который в математической
справочной литературе обозначается 
и
определяется
Зная
доверительные границы 
и 
можно
определить доверительную вероятность
Если
значения доверительных границ 
и 
симметричны,
т.е.
,
то 
и 
.
Тогда
Для наиболее часто встречающихся значений доверительной вероятности в табл. 1.3 указаны соответствующие значения кратности.
Таблица 1.3
-
P(t)
0,90
0,95
0,99
0,999
t
1,645
1,960
2,576
3,291
При
нормальном законе распределения
доверительный интервал 
имеет
доверительную вероятность 
=0,9973,
что означает, что из 370 случайных
погрешностей только одна по абсолютному
значению будет больше 
.
На основании этого основан один из
критериев грубых погрешностей, когда
остаточная погрешность какого-либо
результата измерения превышает
значение
,
то этот результат считается промахом
и исключается из ряда измерений.
Пример.
Для известного числа измерений 
получены
значения 
и 
.
Определить вероятность того, что имеет
место неравенство 1,26<
<1,28.
Так
как 
,
то 
0,01/0,025=0,4.
Используя таблицу интеграла вероятности,
находим 
.
Следовательно, около 30% общего числа
измерений будут иметь случайную
погрешность 
,
не превышающую ±0,01.
17.КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ МОМЕНТ.КОЭФФИЦЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ. Корреляционные моменты, коэффициент корреляции - это числовые характеристики, тесно связанные во введенным выше понятием случайной величины, а точнее с системой случайных величин. Поэтому для введения и определения их значения и роли необходимо пояснить понятие системы случайных величин и некоторые свойства присущие им. Два или более случайные величины, описывающих некоторое явление называют системой или комплексом случайных величин. Систему нескольких случайных величин X, Y, Z, …, W принято обозначать через (X, Y, Z, …, W). Например, точка на плоскости описывается не одной координатой, а двумя, а в пространстве - даже тремя. Свойства системы нескольких случайных величин не исчерпываются свойствами отдельных случайных величин, входящих в систему, а включают также взаимные связи (зависимости) между случайными величинами. Поэтому при изучении системы случайных величин следует обращать внимание на характер и степень зависимости. Эта зависимость может быть более или менее ярко выраженной, более или менее тесной. А в других случаях случайные величины оказаться практически независимыми. Случайная величина Y называется независимой от случайной величины Х, если закон распределения случайной величины Y не зависит от того какое значение приняла величина Х. Следует отметить, что зависимость и независимость случайных величин есть всегда явление взаимное: если Y не зависит от Х, то и величина Х не зависит от Y. Учитывая это, можно привести следующее определение независимости случайных величин. Случайные величины Х и Y называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая. В противном случае величины Х и Y называются зависимыми.