5. Сочетания и их свойства.

Сочетание из n по k, как и размещение, является выборкой k элементов некоего множества, имеющего n элементов, но при этом выборки, отличающиеся порядком и одинаковые по составу, не считаются различными. Напомним, что в случае размещений такие выборки считались бы разными.  Допустим, есть множество {x, y, z}. Сочетаниями по два будут {x, y}, {x, z}, {y, z}.  Количество возможных сочетаний определяется как

Одним из самых любопытных свойств сочетаний является вот такая формула

Если разобраться, то левая часть формулы - количество всевозможных выборок из n элементов без учёта порядка. Рассуждаем. Первый элемент мы можем выбрать либо не выбрать - 2 варианта. Аналогично второй элемент - выбираем либо не выбираем. Так же и с прочими элементами... В итоге получаем произведение n двоек.  Сочетания являются коэффициентами, появляющимися при разложении бинома Ньютона:

Например, при n=3 получим широко известную формулу для куба суммы, как выясняется, частный случай бинома Ньютона:

Теперь ещё раз взгляните на формулу для вычисления количества сочетаний. Из того, что в знаменателе находится k!(n-k)!, а числитель не зависит от k, получаем ещё одно интересное свойство:

Наконец, получим рекуррентное соотношение для расчёта числа сочетаний:

Формулу (*) и полученное рекуррентное соотношение можно скомбинировать:

Это позволит ускорить вычисление коэффициентов разложения бинома Ньютона в сравнении с использованием первой версии рекуррентного соотношения, поскольку теперь почти половину величин не нужно находить по-честному. Примечание: [x] - целая часть числа x, для положительных чисел это по сути отсечение дробной части (или отсутствие изменений, если дробной части нет).

ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ

Треугольник Паскаля — бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Назван в честь Блеза Паскаля. Имеет применение в теории вероятностей.

Свойства

Числа треугольника симметричны (равны) относительно вертикальной оси.

• В строке с номером n:

  • первое и последнее числа равны 1.

  • второе и предпоследнее числа равны n.

  • третье число равно треугольному числу  , что также равно сумме номеров предшествующих строк.

  • четвёртое число является тетраэдрическим.

  • m-е число (при нумерации с 0) равно биномиальному коэффициенту  .

• Сумма чисел восходящей диагонали, начинающейся с первого элемента (n-1)-й строки, есть n-е число Фибоначчи:

• Если вычесть из центрального числа в строке с чётным номером соседнее число из той же строки, то получится число Каталана.

• Сумма чисел n-й строки треугольника Паскаля равна  .

• Все числа в n-й строке, кроме единиц, делятся на число n, если и только если n является простым числом^[3] (следствие теоремы Люка).

• Если в строке с нечётным номером сложить все числа с порядковыми номерами вида 3n, 3n+1, 3n+2, то первые две суммы будут равны, а третья на 1 меньше.

• Каждое число в треугольнике равно количеству способов добраться до него из вершины, перемещаясь либо вправо-вниз, либо влево-вниз.

6. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ

Условная вероятность — вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло.

Пример. В урне находятся 3 белых шара и 2 черных. Из урны вынимается один шар, а затем второй. Событие В – появление белого шара при первом вынимании. Событие А – появление белого шара при втором вынимании.

Решение. Очевидно, что вероятность события А, если событие В произошло, будет  .  Вероятность события А при условии, что событие В не произошло, будет  .

Пример. Какова вероятность того, что 2 карты, вынутые из колоды в 36 карт, окажутся одной масти?

Решение. Сначала подсчитаем вероятность того, что две карты окажутся одной определенной масти (например «пики»). Пусть А - появление первой карты такой масти, В - появление второй карты той же масти. Событие В зависит от события А, т.к. его вероятность меняется от того, произошло или нет событие А. Поэтому придется воспользоваться теоремой умножения в ее общей форме:

,  где   (после вынимания первой карты осталось 35 карт, из них той же масти, что и первая - 8).

Получаем  .

События, состоящие в том, что будут вынуты две карты масти «пики», масти «треф» и т.д., несовместны друг с другом. Следовательно, для нахождения вероятности их объединения воспользуемся теоремой сложения: .

ФОРМУЛА УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

 Вероятность одновременного появления любых событий A₁, ..., A_n  выражается формулой умножения вероятностей:

P(A₁A₂...A_n) = P(A₁)P(A₂|A₁) ... P(A_n|A₁...A_n-1),

в которой вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что в рассматриваемом опыте произошли все предыдущие события.

Замечание 2.   Формула умножения вероятностей доказывается по индукции на основе свойства 16)P. Например, при n = 3 имеем P(A₁A₂A₃) = P(A₁)P(A₂|A₁)P(A₃|A₁A₂).

Определение 1.   События A и B называются независимыми, если P(AB) = P(A)P(B).

Определение 2.   События A₁, ..., A_n называются независимыми в совокупности, или просто независимыми, если каждое из них не зависит от произведения любой совокупности остальных. Если любые два события из A₁, ..., A_n независимы, то A₁, ..., A_n называются попарно независимыми.

Замечание 3.   Независимость событий не следует из их попарной независимости, но обратное утверждение верно.

Замечание 4.   Если события A₁, ..., A_n независимы, то

P(A₁|A₂) = P(A₁), P(A₃|A₁A₂) = P(A₃), ..., P(A_n|A₁...A_n-1) = P(A_n).

В этом случае формула умножения вероятностей принимает простой вид:

P(A1...An) =

n ∏  i=1

P(Ai) ,

т.е.вероятность независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

НЕЗАВИСИМЫЕ СОБЫТИЯ

Событие A называется независимым от события B, если возможность наступления события A не зависит от того, произошло событие B или нет.