9. Функциональные последовательности

Определение. Если каждому натуральному числу   ставится в соответствие по некоторому закону функция  , определенная на множестве  , то говорят, что на множестве   задана функциональная последовательность  . Множество   называется областью определения последовательности  .

Определение.   сходится в точке  , если числовая последовательность   сходится. Множество всех точек  , в которых  сходится, называется областью сходимости функциональной последовательности  .

 - область сходимости  . Пусть   - обозначение предельного значения. Совокупность всех предельных значений есть функция, определенная на множестве  . Эта функция   называется предельной функцией последовательности  .

Замечание. Точечная сходимость   на некотором множестве   не гарантирует сохранения свойств членов последовательности (например, свойства непрерывности, интегрируемости и т.д.)

Функциональные ряды

Пусть дана функциональная последовательность   определенная на множестве  .

Формальное выражение вида   называется функциональным рядом.

Множество   - область определения ряда. Сумма   первых членов ряда   называется  -ой частичной суммой функционального ряда. Заметим, что  является функциональной последовательностью, определенной на  .

Пусть точка 

Определение. Функциональный ряд   сходится в точке  , если числовой ряд   сходится. Множество   точек  , где  сходится, называется областью сходимости ряда.

Определение. Функциональный ряд   сходится на множестве  , если последовательность   его частичных сумм сходится на  .

Если функциональный ряд сходится на множестве  , то его сумма есть функция  , определенная на  . Очевидно,   есть предел функциональной последовательности  .

Замечание. Поточечная сходимость ряда на множестве   не гарантирует сохранения свойств членов ряда для сумм ряда.

ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ РЯДА

Очевидно, что, подставляя в   то или иное значение «икс», мы получаем различные числовые ряды. Некоторые числовые ряды будут сходиться, а некоторые расходиться. И наша задача найти множество значений «икс», при котором степенной ряд   будетсходиться. Такое множество и называется областью сходимости ряда.

Для любого степенного ряда (временно отвлекаемся от конкретного примера) возможны три случая:

1) Степенной ряд сходится абсолютно на некотором интервале  . Иными словами, если мы выбираем  любое значение «икс» из интервала   и подставляем его в общий член степенного ряда, то у нас получается абсолютно сходящийся числовой ряд. Такой интервал   и называется интервалом сходимости степенного ряда.

Радиус сходимости, если совсем просто, это половина длины интервала сходимости: 

Геометрически ситуация выглядит так:

В данном случае, интервал сходимости ряда:  , радиус сходимости ряда: 

Широко распространен тривиальный случай, когда интервал сходимости симметричен относительно нуля:

>

Здесь интервал сходимости ряда:  , радиус сходимости ряда: 

А что будет происходить на концах интервала  ?  В точках  ,   степенной рядможет, как сходиться, так и расходится, и для выяснения этого необходимо проводить дополнительное исследование. После такого исследования речь идёт уже об области сходимости ряда:

– Если установлено, что степенной ряд расходится на обоих концах интервала, то область сходимости ряда совпадает с интервалом сходимости: 

– Если установлено, что степенной ряд сходится на одном конце интервала и расходится на другом, то область сходимости ряда представляет собой полуинтервал:   или  .

– Если установлено, что степенной ряд сходится на обоих концах интервала, то область сходимости ряда представляет собой отрезок: 

Термины очень похожи, область сходимости ряда – это чуть более детализированныйинтервал сходимости ряда.

С двумя оставшимися случаями всё короче и проще:

2) Степенной ряд сходится абсолютно при любом значении  . То есть, какое бы значение «икс» мы не подставили в общий член степенного ряда – в любом случае у нас получитсяабсолютно сходящийся числовой ряд. Интервал сходимости и область сходимости в данном случае совпадают:  . Радиус сходимости:  . Рисунок приводить не буду, думаю, нет необходимости.

3) Степенной ряд сходится в единственной точке. Если ряд имеет вид  , то он будет сходиться в единственной точке  . В этом случае интервал сходимости и область сходимости ряда тоже совпадают и равны единственному числу – нулю:  . Если ряд имеет вид  , то он будет сходиться в единственной точке  , если ряд имеет вид  , то, понятно, – в точке «минус а». Радиус сходимости ряда во всех случаях, естественно, нулевой:  .

Других вариантов нет. Область сходимости степенного ряда – это всегда либо единственная точка, либо любое «икс», либо интервал   (возможно полуинтервал, отрезок). Подчеркиваю, что данная классификация справедлива для степенных рядов. Для произвольного функционального ряда она в общем случае является неверной.

10.МАЖОРИРУЕМЫЕ РЯДЫ

11. Степенной ряд с одной переменной — это формальное алгебраическое выражение вида:

в котором коэффициенты   берутся из некоторого кольца  .

• Первая теорема Абеля: Пусть ряд   сходится в точке  . Тогда этот ряд сходится абсолютно в круге   и равномерно по   на любом компактном подмножестве этого круга.

Обращая эту теорему, получаем, что если степенной ряд расходится при  , он расходится при всех  , таких что  . Из первой теоремы Абеля также следует, что существует такой радиус круга   (возможно, нулевой или бесконечный), что при   ряд сходится абсолютно (и равномерно по   на компактных подмножествах круга  ), а при   — расходится. Это значение   называется радиусом сходимости ряда, а круг   — кругом сходимости.

ИНТЕРВАЛ И РАДИУС СХОДИМОСТИ.

Из теоремы Абеля следует, что если — точка сходимости ряда (30.2), то ряд сходится абсолютно во всех точках интервала  Если — точка расходимости (30.2), то ряд расходится во всех точках интервалов Отсюда делаем вывод, что существует такое число R, что на (-R, R) ряд (30.2) сходится абсолютно, а на   расходится. Таким образом, справедлива следующая теорема.

Т: Областью сходимости ряда (30.2) является интервал (-R, R), В каждой точке этого интервала ряд сходится абсолютно, а на интервалах — расходится

Интервал (-R, R) называется интервалом сходимости ряда (30.2), a R — его радиусом сходимости. Для некоторых рядов интервал сходимости вырождается в точку (R= 0), для других — охватывает всю ось OX(R= ). При х= R ряд может и сходиться, и расходиться (вопрос решается для каждого конкретного ряда).

Укажем способ определения радиуса сходимости ряда (30.2). Рассмотрим ряд из абсолютных величин его членов и применим к нему признак Даламбера:

Если то ряд из абсолютных величин членов (30.2) сходится и ряд (30.2) сходится абсолютно. Обозначим

 (30.4)

При ряд (30.2) расходится, так как общий член ряда  не стремится к 0. Таким образом, формула (30.4) дает радиус сходимости.

Пример: Найти радиус и интервал сходимости ряда

интервал абсолютной сходимости ( - 3, 3). На концах интервала: при х = 3 имеем — гармонический расходящийся ряд,

при х= — знакочередующийся ряд, сходящийся условно.

Область сходимости данного ряда — промежуток [-3, 3)

Ряд (30.1) сводится к ряду (30.2) заменой переменной  Если ряд имеет радиус сходимости R, то ряд (30.1) сходится абсолютно для т.е. на интервале

12.РЯДЫ ТЕЙЛОРА

Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами. В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.

Определение

Пусть функция   бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки  . Формальный ряд

называется рядом Тейлора функции   в точке  .

То есть, Рядом Тейлора для функции   в окрестности точки   называется степенной ряд относительно двучлена   вида 

Формула Тейлора

Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Теорема:

Пусть функция   имеет   производную в некоторой окрестности точки  ,  Пусть  Пусть   — произвольное положительное число, тогда:   точка   при   или   при  :

Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме.

РЯДЫ МАКЛОРЕНА

Если a = 0, то такое разложение называется рядом Маклорена: Разложение некоторых функций в ряд Маклорена     

Пример 1

Найти ряд Маклорена для функции  . Решение. Воспользуемся тригонометрическим равенством  .  Поскольку ряд Маклорена для cos x имеет вид  , то можно записать        Отсюда следует:

13.ОСТАТОЧНЫЙ ЧЛЕН РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯД ТЕЙЛОРА В ФОРМЕ ЛАГРАНЖА И ПЕАНО

Остаточный член формулы Тейлора.

Пусть  . Тогда в некоторой окрестности   можно написать равенство

,

которое называется формулой Тейлора функции   в точке  , где   называется многочленом Тейлора, а   - остаточным членом Тейлора (после n-го члена).

Если существует

,

то согласно определению сходимости ряда (1) сходится к функции   в точке  .

Лемма Править

Пусть   в  . Тогда в 

Доказательство:

 

Теорема. Формула с остаточным членом в форме Лагранжа.  Править

Пусть  ,   непрерывна на отрезке  ,   на интервале  . Тогда справедлива формула (1), в которой

где  .

Доказательство: будем проводить по индукции, считая  . При   теорема утверждает, что при некотором 

Это утверждение верно, так как оно совпадает с доказанной ранее формулой конечных приращений Лагранжа.

Предположим, что утверждение верно при   и установим, что оно верно и при n. Использую теорему Коши о среднем и лемму, имеем (для определенности  )

где  ,а предпоследнее равенство написано в силу предположения индукции.

Теорема доказана.

О.В Бесов Лекции по математическому анализу.Часть 1. стр.90.

Теорема. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Править

Пусть   и  . Тогда справедлива формула (1), в которой  при  .

Доказательство: будем проводить по индукции:

При   утверждение теоремы верно. В самом деле, в этом случае   дифференцируема в точке  . Следовательно,

Что совпадает с условием теоремы.

Предположим, что утверждение теоремы верно при   и покажем, что это верно и для n.

Использую теорему Лагранжа о конечных приращениях и лемму, имеем (считая для определенности  ):

где  .

По предположению индукции   при  . Следовательно,

 при  .

что и требовалось показать.

14.РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД МАКЛОРЕНА e^x, sin(x), cos(x)

Cos(x)=

Sin(x)=

E^x=

Сходимость построенных рядов к соответствующим функциям.

1. y = e^x.

Имеем f(x) = f'(x) = f''(x) =…= f⁽ⁿ⁾(x) = e^x;

f(0) = f'(0) = f''(0) =…= f⁽ⁿ⁾(0) = e⁰ = 1.

По формуле

e^x = 1 + х +  .

Область сходимости ряда (-∞; ∞).

2. y = sin x.

Имеем f(x) = sin x, f'(x) = cos x, f''(x) = -sin x; f'''(x) = -cos x, f⁽⁴⁾(x) = sin x,

откуда f(0) = 0; f'(0) = 1; f''(0) = 0; f'''(0) = -1, f⁽⁴⁾(0) = 0 и т.д.

Очевидно, что производные чётного порядка f⁽²ⁿ⁾(0) = 0, а нечётного порядка f^(2n-1)(0) = (-1)^n-1, i = 1, 2… . По формуле

sin x = x -  .

Область сходимости ряда (-∞; ∞).

3. y = cos x.

Рассматривая аналогично, получим

сos x = 1 -  .

Область сходимости ряда (-∞; ∞).

15.РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД МАКЛОРЕНА ФУНКЦИЙ ln(1+x);(1+x)^a

ln(1+x)=

Рассмотрим геометрический ряд

= 1 - x + x² - x³ +…+(-1)ⁿ xⁿ +…

со знаменателем q = -х, который сходится при | q | = | -x |<1, т.е. при -1 < х < 1, к функции

.

Интегрируя почленно равенство в интервале (0; х), где | x |<1, с учётом того, что

 

, получим

In (1+x) = x -  .

Область сходимости ряда (после выяснения сходимости на концах интервала сходимости) есть  .

(1+x)^a=

16. РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД МАКЛОРЕНА ФУНКЦИИ arctg(x)

Arctg(x)=

Формула для ряда такая:

arctgx=x−1/3x3+1/5x5−1/7x7+⋯

При x=1/4 он сходится. Рассмотрим приближение

arctgx≈x−1/3x3

и оценим его точность. Поскольку ряд знакочередующийся, и его члены убывают, для остаточного члена ряда справедливы неравенства

0<1/5x5−1/7x7+⋯<1/5x5=1/5120

при x=1/4. Эта величина меньше δ=10−3, поэтому arctg1/4≈1/4−1/3⋅4^3=47/192≈0,2447916667.... Для сравнения, точное значение равно 0,2449786631....