11. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

В этой статье мы разберем принципы решения линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами  , где p и q – произвольные действительные числа. Сначала остановимся на теории, далее применим полученные результаты в решении примеров и задач.

Если Вам будут встречаться незнакомые термины, то обращайтесь к разделу определения и понятия теории дифференциальных уравнений.

Сформулируем теорему, которая указывает, в каком виде находить общее решение ЛОДУ.

Теорема.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения   с непрерывными на интервале интегрирования Xкоэффициентами   определяется линейной комбинацией  , где   - линейно независимые частные решения ЛОДУ на X, а   - произвольные постоянные.

Таким образом, общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка   с постоянными коэффициентами имеет вид y₀=C₁⋅y₁+C₂⋅y₂, где y₁ и y₂ – частные линейно независимые решения, а С₁ и C₂ – произвольные постоянные. Осталось научиться находить частные решения y₁ и y₂.

Эйлер предложил искать частные решения в виде  .

Если принять   частным решением ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами  , то при подстановке этого решения в уравнение мы должны получить тождество:

Так мы получили так называемое характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Решения k₁и k₂ этого характеристического уравнения определяют частные решения   и  нашего ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.

В зависимости от коэффициентов p и q корни характеристического уравнения могут быть:

1. действительными и различными  ,

2. действительными и совпадающими  ,

3. комплексно сопряженной парой  .

В первом случае линейно независимыми частными решениями исходного дифференциального уравнения являются   и  , общее решение ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами есть  .

Функции   и   действительно линейно независимы, так как определитель Вронского   отличен от нуля для любых действительных x при  .

Во втором случае одним частным решением является функция  . В качестве второго частного решения берется  . Покажем, что   действительно является частным решением ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами   и докажем линейную независимость y₁ и y₂.

Так как k₁ = k₀ и k₂ = k₀ совпадающие корни характеристического уравнения, то оно имеет вид  . Следовательно,   - исходное линейное однородное дифференциальное уравнение. Подставим в него  и убедимся, что уравнение обращается в тождество:

Таким образом,   является частным решением исходного уравнения.

Покажем линейную независимость функций   и  . Для этого вычислим определитель Вронского и убедимся, что он отличен от нуля.

Вывод: линейно независимыми частными решениями ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами   являются   и  , и общее решение есть   при  .

В третьем случае имеем пару комплексных частных решений ЛОДУ   и  . Общее решение запишется как  . Эти частные решения могут быть заменены двумя действительными функциями   и  , соответствующими действительной и мнимой частям. Это хорошо видно, если преобразовать общее решение  , воспользовавшись формулами из теории функции комплексного переменного вида  :   где С₃ и С₄ – произвольные постоянные.

Итак, обобщим теорию.

Алгоритм нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами  .

1. Записываем характеристическое уравнение k² + p ⋅ k + q = 0.

2. Находим корни характеристического уравнения k₁ и k₂.

3. В зависимости от значений корней характеристического уравнения записываем общее решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами в виде:

   • , если  ;

   • , если  ;

   • , если  .

Рассмотрим примеры для каждого случая.

Пример.

Найдите общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами  .

Решение.

Запишем характеристическое уравнение k² + 4 ⋅ k + 4 = 0. Найдем его корни

Получили два совпадающих корня, следовательно, общее решение имеет вид  .

12.

Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Структура общего решения Линейное неоднородное уравнение данного типа имеет вид: где p, q − постоянные числа (которые могут быть как действительными, так и комплексными). Для каждого такого уравнения можно записать соответствующее однородное уравнение: Теорема: Общее решение неоднородного уравнения является суммой общего решения y0(x) соответствуюшего однородного уравнения и частного решения y1(x) неоднородного уравнения: Ниже мы рассмотрим два способа решения неоднородных дифференциальных уравнений. Метод вариации постоянных Если общее решение y0 ассоциированного однородного уравнения известно, то общее решение неоднородного уравнения можно найти, используя метод вариации постоянных.  Пусть общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид: Вместо постоянных C1 и C2 будем рассматривать вспомогательные функции C1(x) и C2(x). Будем искать эти функции такими, чтобы решение удовлетворяло неоднородному уравнению с правой частью f(x).  Неизвестные функции C1(x) и C2(x) определяются из системы двух уравнений: Метод неопределенных коэффициентов Правая часть f(x) неоднородного дифференциального уравнения часто представляет собой многочлен, экспоненциальную или тригонометрическую функцию, или некоторую комбинацию указанных функций. В этом случае решение удобнее искать с помощью метода неопределенных коэффициентов.  Подчеркнем, что данный метод работает лишь для ограниченного класса функций в правой части, таких как   где Pn(x) и Qm(x) − многочлены степени n и m, соответственно. В обоих случаях выбор частного решения должен соответствовать структуре правой части неоднородного дифференциального уравнения.  В случае 1, если число α в экспоненциальной функции совпадает с корнем характеристического уравнения, то частное решение будет содержать дополнительный множитель xs, где s − кратность корня α в характеристическом уравнении.  В случае 2, если число α + βi совпадает с корнем характеристического уравнения, то выражение для частного решения будет содержать дополнительный множитель x.  Неизвестные коэффициенты можно определить подстановкой найденного выражения для частного решения в исходное неоднородное дифференциальное уравнение. Принцип суперпозиции Если правая часть неоднородного уравнения представляет собой сумму нескольких функций вида то частное решение дифференциального уравнения также будет являться суммой частных решений, построенных отдельно для каждого слагаемого в правой части.

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение  y'' + y = sin(2x). Решение. Сначала мы решим соответствующее однородное уравнение  y'' + y = 0. В данном случае корни характеристического уравнения являтся чисто мнимыми:        Следовательно, общее решение однородного уравнения определяется выражением        Вернемся снова к неоднородному уравнению. Будем искать его решение в виде        используя метод вариации постояных.  Функции C1(x) и C2(x) можно найти из следующей системы уравнений:        Тогда        Выразим производную C1' (x) из первого уравнения:        Подставляя во второе уравнение, находим производную C2' (x):        Отсюда следует, что        Интегрируя выражения для производных C1' (x) и C2' (x), получаем:        где A1, A2 − постоянные интегрирования.  Теперь подставим найденные функции C1(x) и C2(x) в формулу для y1(x) и запишем общее решениенеоднородного уравнения:

13.ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ СИСИТЕМЫ ФУНКЦИЙ НА ОТРЕЗКУ [A,B]

Функции y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x), определённые на отрезке [a;b], называются линейно зависимыми на [a;b] , если существуют постоянные α₁, α₂, ..., α_n , не равные нулю одновременно и такие, что α₁y₁(x) + α₂y₂(x) + ... + α_ny_n(x) = 0 для всех x из отрезка [a;b].

В противном случае функции y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x) называются линейно независимыми.

Линейную зависимость и линейную независимость функций определяют также на (a;b) , (a;b] , [a;b) , на бесконечных промежутках.

Справедливо следующее утверждение.

Функции y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x) линейно зависимы на отрезке [a;b] тогда и только тогда, когда хотя бы одна из них является линейной комбинацией других на этом отрезке .

Справедливо следующее утверждение.

Функции y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x) линейно зависимы на отрезке [a;b] тогда и только тогда, когда хотя бы одна из них является на этом отрезке линейной комбинацией других .

Очевидны следующие утверждения.

• Если среди функций y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x) есть нулевая функция, то функции линейно зависимы.

• Если функции y₁(x), y₂(x), ..., y_k(x) линейно зависимы, то при любых y_{k + 1}(x), y_{k + 2}(x), ..., y_n (x) функции y₁(x), y₂(x), ..., y_k(x), y_{k + 1}(x), ..., y_n(x) также линейно зависимы.

• Если функции y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x) линейно зависимы на отрезке [a;b] , то они линейно зависимы и на любом отрезке, лежащем внутри [a;b] .

• Если функции y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x) линейно независимы на [a;b] , то они линейно независимы и на любом отрезке, содержащем отрезок [а;b] (если, они определены на этом отрезке).

Вектор–функции Y₁(x), Y₂(x), ..., Y_n(x),

называются линейно зависимыми на отрезке [a;b] , если существуют постоянные α₁, α₂, ..., α_n , не равные нулю одновременно и такие, что

α₁ Y₁(x) + α₂ Y₂(x) + ... + α_n Y_n(x) = 0

для всех x из отрезка [a; b].

В противном случае функции Y₁(x), Y₂(x), ..., Y_n(x) называются линейно независимыми.

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ВРОНСКОГО

Определителем Вронского W(x; y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x)) называется определитель, первая строка которого образована функциями y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x) из C_n-1[a, b] , а последующие строки образованы производными от функций предыдущей строки:

Справедливо следующее необходимое условие линейной зависимости функций.

Если функции y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x) линейно зависимы на отрезке [a;b], то их определитель Вронского тождественно равен нулю на этом отрезке: W(x; y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x)) ≡ 0 на [a;b].

Важно понимать, что обратное утверждение неверно. Определитель Вронского линейно независимой системы функций может быть тождественно равен нулю.

Однако, если определитель Вронского системы функций на некотором отрезке отличен от тождественного нуля, то система функций линейно независима на этом отрезке.

 

Определитель Вронского линейно независимой системы функций может быть тождественно равен нулю.

Рассмотрим две функции:

Эти функции линейно независимы на [0, 2]. Действительно:

Вычислим определитель Вронского W(x; y₁(x), y₂(x)) на [0, 2]:

Итак, функции линейно независимы на [0, 2], а W(x; y₁(x), y₂(x)) ≡ 0 на [0, 2].

Этот пример означает, что тождественное равенство нулю определителя Вронского системы функций является необходимым условием линейной зависимости системы функций, но не является достаточным условием линейной зависимости системы функций.

С другой строны, отличие от тождественного нуля определителя Вронского системы функций является достаточным условием условием линейной независимости системы функций.

(Ведь если бы она была бы линейно зависима, то определитель Вронского был бы тождественным нулём).

Определителем Вронского вектор-функций Y₁(x), Y₂(x), ..., Y_n(x),

называется определитель W[x; Y₁, Y₂, ..., Y_n], заданный равенством

14.СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОГО ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ N-ГО ПОРЯДКА

Свойства линейных однородных дифференциальных уравнений.

Лемма 1. Для любых   , имеющиъ производные до порядка   включительно, и любых постоянных     .

Замечание 1. Иными словами,   - Линейный оператор.

Замечание 2. Утверждение леммы равносильно тому, что   и   .

Доказательство. Для любого     в силу известных свойств производной (при  под   понимается сама функция   ).

Следовательно,         .

Следствие. Если   имеют производные до   -го порядка включительно, а   - постоянные, то   .

Доказательство. Воспользуемся индукцией по   . При   по лемме 1 (при   ). Если утверждение доказано при   , то, по лемме 1,  (по индуктивному предположению)   .

Теорема 2. Множество решений линейного однородного дифференциального уравнения (2) представляет собой векторное пространство.

Доказательство. Следует доказать, что если   - решения уравнения, то   - тоже решение, и если   - решение, а   - постоянная, то   - тоже решение, т. е.  .

По замечанию 2 к лемме 1, 

Фундаментальная система решений однородной системы уравнений

Фундаментальная система решений – это множество линейно независимых векторов  , каждый из которых является решением однородной системы, кроме того, решением также является линейная комбинация данных векторов  , где   – произвольные действительные числа.

Количество векторов   фундаментальной системы рассчитывается по формуле:

Однако в практических заданиях гораздо удобнее ориентироваться на следующий признак: количество векторов   фундаментальной системы равно количеству свободных неизвестных.

Представим общее решение  Примера №3   в векторной форме. Свободная переменная в данном случае одна, поэтому фундаментальная система решений состоит из единственного вектора  . Как его найти? Для этого свободной переменной нужно придать произвольное ненулевое значение. Проще всего, конечно же, выбрать   и получить:  .

Координаты вектора   должны удовлетворять каждому уравнению системы, и будет не лишним в этом убедиться.

Ответ следует записать в виде линейной комбинации векторов фундаментальной системы. В нашей ситуации линейная комбинация состоит из одинокого слагаемого. Общее решение однородной системы я буду обозначать через вектор   (подстрочный индекс расшифровывается «Общее Однородной»).

Ответ: общее решение:  , где   (любое вещественное число)

Придавая параметру   различные действительные значения, можно получить бесконечно много частных решений, например, если  , то вектор частного решения однородного уравнения («Частное Однородной») равен: , то есть набор переменных   удовлетворяет каждому уравнению системы.

Это мы рассмотрели традиционный способ построения фундаментальной системы в так называемом нормальном виде – когда свободным переменным придаются исключительно единичные значения. Но правила хорошего математического тона предписывают избавляться от дробей, если это возможно. Поэтому в данном случае можно взять   и из общего решения системы   получить вектор с целыми координатами: 

И тогда ответ запишется в эквивалентной форме: , где   (любое вещественное число)

  Однородные системы линейных уравнений 

     Однородная система линейных уравнений AX = 0 всегда совместна. Она имеет нетривиальные (ненулевые) решения, если r = rank A < n.

     Для однородных систем базисные переменные (коэффициенты при которых образуют базисный минор) выражаются через свободные переменные соотношениями вида:

     Тогда n - r линейно независимыми вектор-решениями будут:

а любое другое решение является их линейной комбинацией. Вектор-решения   образуют нормированную фундаментальную систему.

     В линейном пространстве   множество решений однородной системы линейных уравнений образует подпространство размерности n - r;   - базис этого подпространства.

15.НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ ЛОДУ N-ГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМ КОЭФФИЦЕНТОМ

 Линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами 

     Характеристическое уравнение 

 - корни характеристического уравнения.

     Общее решение 

     1. Все корни характеристического уравнения различные, тогда

     Если среди корней есть пары комплексно-сопряженных корней, например  , решение можно записать в виде

     2. Среди корней характеристического уравнения есть кратные, например,   имеет кратность k (остальные - простые), тогда

     Если среди корней есть пары сопряженных корней кратности k, например  , решение можно записать в виде

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЧАСТЬ 2

1.СТРУКТУРА ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ ЛНДУ

Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального  уравнения

 

Рассмотрим, как связаны между собой решения линейного неоднородного уравнения (3) и соответствующего однородного уравнения (4).

Пусть функции j₁(х) и j₂(х)- решения неоднородного уравнения (3),      а f(х) - решение соответствующего однородного уравнения (4), т. е.

 

L_n[j₁(х)] = f(x),   L_n[j₂(х)] = f(x), L_n[f(х)] = 0.

 

Тогда

 

L_n[j₁(х)-j₂(х)] = 0,   L_n[j₁(х) + f(х)] = f(x).

 

Последние равенства означают:

разность любых двух решений линейного неоднородного уравнения (3) является  решением  соответствующего  однородного  уравнения (4);

сумма решения линейного неоднородного уравнения (3) и решения соответствующего однородного уравнения (4) является решением неоднородного уравнения.

После этих замечаний достаточно очевидной становится следующая теорема.

 

Теорема 6 (структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения)

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (3) определяется формулой

 

,                                    (10)

 

где  - частное решение неоднородного, а   - общее решение соответствующего однородного уравнения.

 

Объединяя формулы (9) и (10), получаем: общее решение неоднородного уравнения имеет вид

 

                  ,

 

где  - частное решение неоднородного уравнения; y₁(х), y₂(х), ..., y_n(х) - фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения; С₁,С₂, ..., С_n - произвольные константы.

Рассмотрим метод нахождения решения линейного неоднородного уравнения, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения, -метод  вариации  произвольных  постоянных.

Основная идея этого метода заключается в том, что решение неоднородного уравнения ищется в том же виде, что и общее решение (9) соответствующего однородного уравнения, но при этом константы С_i заменяются на функции С_i(х), т. е.

 

              .                  (11)

 

 Для отыскания n неизвестных функций С_i(х) нужно иметь n условий (уравнений), причем (n - 1) условие можно выбирать достаточно произволь-

но, а последнее условие определяется тем, что функция   должна удовлетворять уравнению (3).

Чтобы подставить функцию   в уравнение (3), нужно найти последовательно производные до порядка n, включительно. При вычислении первой производной от   для простоты полагаем, что   и далее:

 

     ...,  .

 

C учетом этих равенств подстановка функции   и ее производных в левую часть уравнения (3) дает

 

                 L_n[y(х)]=  .

 

Но каждая из функций у_i(x) является решением однородного уравнения (4), значит  L_n[ у_i(х)] = 0, и последнее условие принимает вид

 

.

 

Объединяя все n условий, получаем систему уравнений относительно неизвестных функций  :

 

       (12)

 

Определитель D системы (12) является определителем Вронского W[x] для ФСР однородного уравнения, следовательно, он не равен нулю. Таким образом, система (по теореме Крамера) имеет единственное решение, которое задается формулами

 

,

 

где D = W[x], а D_i получается из определителя Вронского W[x] заменой i-го столбца на столбец свободных членов системы (11). При этом функции   непрерывны, поэтому, интегрируя их, получаем

 

                       С_i(х) =  ,    ( - const).                          (13)

 

Подставляя функции, найденные по формулам (13), в формулу (11), получим  общее решение неоднородного уравнения (3).

П р и м е р  6. Найти общее решение линейного неоднородного уравнения у¢¢(х)+ у(х) = сos²x.

Решение. В примере 4 было найдено общее решение соответствующего однородного уравнения у¢¢(х) + у(х) = 0. Применим метод вариации произвольных постоянных для нахождения решения неоднородного уравнения. Будем искать его в виде

 

у(х) = С₁(х)sinx + C₂(х)cosx.

 

Определитель Вронского

 

W[sinx, cosx] = 

 

поэтому система (12) для нашего случая имеет вид

 

 

Так как

 

,

 

то      

 

Интегрируя, найдем

 

 

Подставим найденные значения функций С₁(х) и С₂(х) в формулу (11) и получим общее решение неоднородного уравнения:

 

у(х) = (sinx - 1/3sin³x + C₁)sinx + (1/3cos³x + C₂)cosx =

 

 

= sin²x - 1/3sin⁴x + 1/3cos⁴x + C₁sinx + C₂cosx.

 

Здесь

C₁sinx + C₂cosx -  общее решение однородного уравнения;

 

у*(х) = sin²x - 1/3sin⁴x + 1/3cos⁴x - частное решение неоднородного уравнения.