3. Теорема существования и единственности решения задачи Коши
Укажем достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши
.
(1)
Теорема Пикара. Пусть функция непрерывна в прямоугольнике
и
удовлетворяет условию Липшица
по y равномерно
относительно x,
т.е. 
,
для всех x, 
и 
.
Пусть
,
тогда
задача Коши (1) на промежутке 
имеет
единственное решение 
.
Замечание. Условие
Липшица в теореме Пикара можно заменить
на требование ограниченности или
непрерывности 
в
каждом компакте из области определения
дифференциального уравнения.
Решение
задачи Коши при выполнении условий
теоремы Пикара можно найти как предел
при 
равномерно
сходящейся последовательности функций 
,
определяемых рекуррентным соотношением
.
(2)
Оценка
погрешности, получаемой при замене
точного решения y(x) n- м
приближением 
,
выражается неравенством
.
Теорема
Пеано. Пусть
функция непрерывна в прямоугольнике 
,
причем
.
Тогда задача Коши на промежутке имеет по крайне мере одно решение .
Система уравнений
в векторных обозначениях записывается в виде
,
(3)
где 
и 
-
векторы. Непрерывность вектор -
функции f означает
непрерывность всех функций 
,
а вместо 
рассматривается
матрица из частных производных 
.
Рассмотренные
выше теоремы остаются справедливы и
для системы, записанной в виде (3). При
этом |y| означает
длину вектора y: 
.
Рассмотрим уравнение вида
.
(4)
Пусть
в области D функция f и
ее частные производные первого порядка
по 
непрерывны,
и точка 
лежит
внутри D.
Тогда при начальных условиях
уравнение (4) имеет единственное решение.
Уравнение
(4) можно свести к системе вида (2), если
ввести новые неизвестные функции по
формулам 
.
Тогда уравнение (4) сводится к системе
,
которая является частным случаем системы (3) и к которой применимы все рассмотренные утверждения.
Часто решение задачи Коши существует не только на отрезке, указанном в теоремах, но и на большем отрезке.
Если
функция f(x,y) удовлетворяет
в прямоугольнике
условиям
теоремы Пикара, то всякое ее решение 
можно
продолжить до выхода на границу
прямоугольника
. Если
функция f(x,y) в
полосе 
непрерывна
и удовлетворяет неравенству 
,
где a(x) и b(x) -
непрерывные функции, то всякое решение
уравнения (1) и (3) можно продолжить на
весь интервал 
.
Пример
1. Построить
последовательные приближения 
к
решению данного уравнения с данными
начальными условиями: 
.
Решение.
Последовательные приближения к решению данной задачи определим по рекуррентной формуле
.
Подставляя в последнюю формулу поочередно n=0,1 найдем нужные приближения:
,
.
4.ДУ 1-ГО ПОРЯДКА С РАЗДЕЛЯЮЩИМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
|
Дифференциальное уравнение первого порядка y' = f(x,y) называется уравнением с разделяющимися переменными, если функцию f(x,y) можно представить в виде произведения двух функций, зависящих только от x и y:
где p(x) и h(y) −
непрерывные функции.
Рассматривая
производную y' как
отношение дифференциалов
Разумеется,
нужно убедиться, что h(y)
≠ 0. Если найдется число x0,
при котором h(x0)
= 0, то это число будет также являться
решением дифференциального уравнения.
Деление на h(y) приводит
к потере указанного решения.
Обозначив
Теперь переменные разделены и мы можем проинтегрировать дифференциальное уравнение:
где C − постоянная интегрирования. Вычисляя интегралы, получаем выражение
описывающее общее решение уравнения с разделяющимися переменными. |
|
Пример 1 |
|
|
Решить
дифференциальное уравнение Решение. В данном случае p(x) = 1 и h(y) = y(y +2). Разделим уравнение на h(y) и перенесем dx в правую часть: Заметим, что при делении мы могли потерять решения y = 0 и y = −2 в случае когда h(y) равно нулю. Действительно, убедимся, что y = 0 является решением данного дифференциального уравнения. Пусть Подставляя это в уравнение, получаем: 0 = 0. Следовательно, y = 0 будет являться одним из решений. Аналогично можно проверить, что y = −2 также является решением уравнения. Вернемся обратно к дифференциальному уравнению и проинтегрируем его: Интеграл в левой части можно вычислить методом неопределенных коэффициентов: Таким образом, мы получаем следующее разложение рациональной дроби в подыинтегральном выражении: Следовательно, Переименуем константу: 2C = C1. В итоге, окончательное решение уравнения записывается в виде: Общее решение здесь выражено в неявном виде. В данном примере мы можем преобразовать его и получить ответ в явной форме в виде функции y = f(x,C1), где C1 − некоторая константа. Однако это можно сделать не для всех дифференциальных уравнений. |
|
,
перенесем dx в
правую часть и разделим уравнение
на h(y):
,
запишем уравнение в форме:
.
6.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ
Обыкновенное дифференциальное уравнение вида:
называется уравнением
Бернулли (при 
или 
получаем
неоднородное или однородное линейное
уравнение). При 
является
частным случаемуравнения
Риккати.
Названо в честь Якоба
Бернулли,
опубликовавшего это уравнение в 1695
году. Метод решения с помощью замены,
сводящей это уравнение к линейному,
нашёл его брат Иоганн
Бернулли в
1697 году.[1]
Метод решения
Первый способ
Разделим все члены уравнения на
получим
Делая замену
и дифференцируя, получаем:
Это уравнение приводится к линейному:
и может быть решено методом Лагранжа (вариации постоянной) или методом интегрирующего множителя.
Второй способ
Заменим
тогда:
Подберем 
так,
чтобы было
для
этого достаточно решить уравнение с
разделяющимися переменными 1-го порядка.
После этого для определения 
получаем
уравнение 
—
уравнение с разделяющимися переменными.
Пример
Уравнение
разделим
на 
получаем:
Замена переменных
дает:
Делим
на 
,
Результат:
7.ОСОБЫЕ РЕШЕНИЯ ДУ 1-ГО ПОРЯДКА
Особым решением дифференциального уравнения называется такое решение, во всех точках которого условие единственности Коши не выполняется, т.е. в окрестности некоторой точки (х, у) существует не менее двух интегральных кривых.
Особые решения не зависят от постоянной С.
Особые решения нельзя получить из общего решения ни при каких значениях постоянной С. Если построить семейство интегральных кривых дифференциального уравнения, то особое решение будет изображаться линией, которая в каждой своей точке касается по крайней мере одной интегральной кривой.
Отметим, что не каждое дифференциальное уравнение имеет особые решения.
Пример: Рассмотрим дифференциальное уравнение:
y = 3(y − sin x) + cos x . (1)
Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что при любом С функция
y = (x + C) + sin x (2)
есть решение этого уравнения. Здесь семейство интегральных кривыхзадается с помощью функции
Ф(x, y,C) = y − (x + C) − sin x .
Для нахождения уравнения огибающей имеем систему
Ф(x, y,C) = y − (x + C) − sin x = 0
Ф (x, y,C) = −3(x + C) = 0
Отсюда x + C = 0, и y = sin x. Надо еще проверить, что последнее равенство задает огибающую.
Легко видеь, что при х=х кривые y = sin x и y = (x − x0)3 + sin x имеют общую в точке с абциссой
x = x . Поэтому y = sin x – огибающая семейства кривых (2) и, следовательно,
особое решение уравнения (1).
9.ДУ 2-ГО ПОРЯДКА
Дифференциальные уравнения второго порядка |
|
1. Основные понятия |
Дифференциальное
уравнение второго порядка можно
записать в виде
Для этих уравнений имеет место теорема существования и единственности решения. Теорема. Если
в уравнении
функция Эти
условия называются начальными
условиями. Геометрический смысл этих
условий состоит в том, что через
заданную точку плоскости Общим
решением дифференциального уравнения
второго порядка называется функция Уравнение Если в общее решение подставить конкретные значения и , то получится частное решение дифференциального уравнения. График частного решения называют интегральной кривой данного дифференциального уравнения. Рассмотрим методы решения некоторых уравнений второго порядка.
|
2. Уравнения, допускающие понижение порядка |
а) Рассмотрим
простейшее уравнение второго порядка
где и –произвольные постоянные, а неопределенные интегралы трактуются как первообразные соответствующих функций. Пример
7. Решить
уравнение Решение. Интегрируя
первый раз, получаем б)
Рассмотрим уравнение Решаем теперь это уравнение первого порядка относительно p, а затем заменяем p на и решаем последнее уравнение относительно неизвестной функции y. |
.
Мы будем рассматривать уравнения
второго порядка, которые можно разрешить
относительно производной второго
порядка, то есть записать в виде
.
и
ее частные производные по
аргументам y и 
непрерывны
в некоторой области, содержащей 
,
то существует и притом единственное
решение 
уравнения,
удовлетворяющее условиям 
и 
.
с
заданным тангенсом угла наклона
касательной 
проходит
единственная интегральная кривая.
Ясно, что если мы будем задавать
различные значения
,
то при постоянных 
и 
мы
получим бесчисленное множество
интегральных кривых с различными
углами наклона касательных и проходящих
через заданную точку.
,
зависящая от двух произвольных
постоянных, которая при любых
значениях 
и 
является
решением дифференциального уравнения.
,
определяющее общее решение, называется
общим интегралом дифференциального
уравнения.
.
Общее решение такого уравнения
получается путем двукратного
интегрирования:
,
.
.
Общее решение данного уравнения
получаем, интегрируя второй раз: 
.
,
явно не содержащее искомую функцию y.
Положим 
.
Тогда 
и
уравнение примет вид 
.
Общее и частное решения уравнения высшего порядка |
|
|
|
Полученная
функция (1.6) является решением
дифференциального уравнения (1.4),
поскольку при ее подстановке в это
уравнение мы получили тождество Для
определения частного решения по
данному общему решению уже недостаточно
одной точки
Общее
решение дифференциального уравнения
Где
, Произвольные
постоянные
,
,
…,
должны
быть независимыми. Например,
выражение
Так что выражение фактически содержит одну постоянную. Аналогично выражение
Фактически
содержит две произвольные постоянные,
так как В
выражении же Возьмем
общее решение уравнения (1.2), которое
дается формулой (1.7), и придадим
произвольным постоянным
,
,
…,
некоторые
конкретные значения
Это решение уравнения (1.2) называется Частным решением. Для нахождения конкретного частного решения из общего решения задают начальные условия:
, Число начальных условий всегда равно порядку дифференциального уравнения. Дадим в заключение полное формальное определение общего решения дифференциального уравнения -го порядка. Функция (1.7) называется Общим решением дифференциального уравнения (1.2), если: 1) при
любых конкретных 2) для
любых допустимых начальных условий
(1.9) возможно однозначно определить
значения произвольных постоянных Пример 1.1. Доказать, что функция
Является общим решением дифференциального уравнения
Доказательство. Проверим выполнение двух условий общего решения. 1. Докажем,
что функция
Подставляя
вторую производную 2. Покажем, что для любых начальных условий , Значения
произвольных постоянных
и
возможно
определить однозначно. Подставляя
начальные условия в выражения
для
Решая эту систему, получим:
То
есть при любых значениях Тем самым доказано, что функция является общим решением дифференциального уравнения . |
.
Более того, функция (1.6) определяет
множество всех возможных решений
уравнения (1.4), поэтому (1.6) является
общим решением этого уравнения. Таким
образом, общее решение дифференциального
уравнения второго порядка содержит
две произвольные постоянные 
и 
,
то есть является двухпараметрическим.
,
соответствующей начальному условию,
а необходимо также задавать угловой
коэффициент наклона интегральной
кривой в этой точке, то есть необходимо
задавать два начальных условия:
, 
.
-го
порядка (1.1) или (1.2) имеет вид
,
(1.7)
,
…, 
–
произвольные постоянные. Их число
всегда равно порядку дифференциального
уравнения.
содержит
две произвольные постоянные, но они
не независимы, так как
.
.
произвольные
постоянные
и
независимы.
, 
,
…, 
.
Получим конкретное решение
.
(1.8)
, 
,
…, 
.
(1.9)
, 
,
…, 
функция
(1.8) удовлетворяет этому уравнению;
, 
,
…, 
.
.
является
решением уравнения
при
любых
и
.
Имеем:
, 
.
в
уравнение
,
получим тождество
.
и 
имеем
систему уравнений:
, 
.
, 
и 
произвольные
постоянные
и
определяются
однозначно.