18 Полигон и кумулята

Полигон чаще всего используют для изображения дискретных рядов. Для построения полигона в прямоугольной системе координат на оси абсцисс в произвольно выбранном масштабе откладывают значения аргумента, т. е. варианты, а на оси ординат также в произвольно выбранном масштабе - значения частот или относительных частот. Масштаб выбирают такой, чтобы была обеспечена необходимая наглядность, и чтобы рисунок имел желательный размер. Далее в этой системе координат строят точки, координатами которых являются пары соответствующих чисел из вариационного ряда. Полученные точки последовательно соединяют отрезками прямой. Крайнюю "левую" точку соединяют с точкой оси абсцисс, абсцисса которой находится слева от рассматриваемой точки на таком же расстоянии, как абсцисса ближайшей справа точки. Аналогично крайнюю "правую" точку также соединяют с точкой оси абсцисс.

Учебные достижения учащихся некоторого класса по математике характеризуются данными, представленными в таблице.

Количество баллов x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Число учащихся n	1	1	2	3	4	4	6	5	3	3	2	1

     Построить полигон частот.

Решение.

     Строим точки основываясь на данных из таблицы. Полученные точки соединяем отрезками прямой. Обратите внимание на точки (0; 0) и (13; 0), расположенные на оси абсцисс и имеющие своими абсциссами числа, на 1 меньшее и большее, чем соответственно абсциссы самой левой и самой правой точек. Полигон частот изображен на рисунке.

     Если полигон строят по данным интервального ряда, то в качестве абсцисс точек берут середины соответствующих интервалов. Крайние левую и правую точки соединяют с точками оси абсцисс - серединами ближайших интервалов, частоты которых равны нулю. Конечно, в этом случае полигон лишь приближенно отображает зависимость частот от значений аргумента.

Кумулята служит для графического изображения кумулятивного вариационного ряда. Для ее построения на оси абсцисс откладывают значения аргумента, а на оси ординат - накопленные частоты или накопленные относительные частоты. Масштаб на каждой оси выбирают произвольно. Далее строят точки, абсциссы которых равны вариантам (в случае дискретных рядов) или верхним границам интервалов (в случае интервальных рядов), а ординаты - соответствующим частотам (накопленным частотам). Эти точки соединяют отрезками прямой. Полученная ломаная и является кумулятой.

По данным таблицы составить кумулятивный вариационный ряд, для которого построить кумуляту.

Количество баллов x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Число учащихся n	1	1	2	3	4	4	6	5	3	3	2	1

Решение.

Cоставим кумулятивный вариационный ряд (см. таблицу ниже), для которого построим кумуляту.

Количество баллов	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Частота	1	1	2	3	4	4	6	5	3	3	2	1
Накопленная частота n	1	2	4	7	11	15	21	26	29	32	34	35

 Гистограмму используют для изображения интервальных рядов. Для построения гистограммы по данным вариационного ряда с равными интервалами, как и для построения полигона, на оси абсцисс откладывают значения аргумента, а на оси ординат - значения частот или относительных частот. Далее строят прямоугольники, основаниями которых служат отрезки оси абсцисс, длины которых равны длинам интервалов, а высотами - отрезки, длины которых пропорциональны частотам или относительным частотам соответствующих интервалов.

     В результате получают ступенчатую фигуру в виде сдвинутых друг к другу прямоугольников, площади которых пропорциональны частотам (или относительным частотам).

     Если интервалы неравные, то на оси ординат следует откладывать в произвольно выбранном масштабе значения плотности распределения (абсолютной или относительной). Таким образом, высоты прямоугольников, которые мы строим, должны равняться плотностям соответствующих интервалов.

     При графическом изображении вариационного ряда с помощью гистограммы плотность изображается так, как если бы она оставалась постоянной внутри каждого интервала. На самом деле, как правило, это не так. Если построить распределение по частям интервалов, то можно убедиться в том, что плотность распределения на различных участках интервала не остается постоянной. Плотность, полученная ранее, предствляла лишь некоторую среднюю плотность. Итак, гистограмма изображает не фактическое изменение плотности распределения, а лишь средние плотности распределения на каждом интервале.

     Если построена гистограмма интервального распределения, то полигон того же распределения можно получить, если соединить прямолинейными отрезками середины верхних оснований прямоугольников.

 Тест содержал 25 заданий. Построить гистограмму.

Доступность задания x, %	25-35	35-45	45-55	55-65	65-75	75-85	85-95
Количество задач n	1	1	5	7	7	3	1

Решение.

     Откладываем на оси абсцисс 7 отрезков длиной 10. На них, как на основаниях, строим прямоугольники, высоты которых соответственно равны 1, 1, 5, 7, 7, 3, 1. Полученная ступенчатая фигура и является искомой гистограммой.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ЧАСТЬ 2

1.СТОХАСТИЧЕСКИЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

стохастических называют эксперименты, которые можно повторить любое количество раз, но результаты которых нельзя наверняка предсказать. В основе теоретико-множественного метода изложения теории вероятностей лежит предположение, что каждому стохастической эксперимента поставлено в соответствие некоторое множество W, точки которой изображают все возможные последствия данного эксперимента.Множество W называют пространством элементарных событий, а его точки - элементарными событиями. Таким образом, пространство элементарных событий W это совокупность всех возможных последствий стохастического эксперимента.

Пример 2 . Монета подбрасывают дважды. Пространством элементарных событий этого эксперимента является множество W = {ГГ, ГР, РГ, РР}. Здесь ГР означает, например, что при первом подбрасывании появился герб, а при втором-решка.

НЕВОЗМОЖНОЕ СОБЫТИЕ

Невозмо́жным собы́тием в теории вероятностей называется событие, которое не может произойти в результате эксперимента. То есть событие, не содержащее ни одного элементарного исхода (что соответствует «пустому множеству» Ø в пространстве элементарных исходов)

ДОСТОВЕРНОЕ СОБЫТИЕ

Достове́рным собы́тием в теории вероятностей называется событие  , которое в результате опыта или наблюдения непременно должно произойти. Обозначается символом  ^[1].

Для достоверного события  , то есть вероятность события   равна единице.

Но, не всякое событие, вероятность которого равна 1, является достоверным (см. невозможное событие).

Если оговорена некоторая допустимая погрешность (например,  ), то событие, вероятность которого не более чем на значение погрешности отличается от 1, называется практически достоверным.

Пример 6. Бросают кубик. Событие  - «выпало какое-то число от 1 до 6» является достоверным.

Событие называется невозможным, если оно не может произойти в данном испытании.

Пример 7. В урне находятся только черные шары. Из урны извлекают один шар. Событие  - «извлечен белый шар» является невозможным.

2.ЧТО НАЗЫВАЕТСЯ (n,k)-РАЗМЕЩЕНИЕ

В комбинаторике размеще́нием (из n по k) называется упорядоченный набор из k различных элементов из некоторого множества различных n элементов.

Количество размещений из n по k, обозначаемое  , равно убывающему факториалу:

Последнее выражение имеет естественную комбинаторную интерпретацию: каждое размещение из n по k однозначно соответствует некоторому сочетанию из n по kи некоторой перестановке элементов этого сочетания; число сочетаний из n по k равно биномиальному коэффициенту  , в то время как перестановок на kэлементах ровно k! штук.

При k=n количество размещений равно количеству перестановок порядка n:

ЧТО НАЗЫВАЕТСЯ (n,k)-СОЧЕТАНИЕ

В комбинаторике сочетанием из   по   называется набор   элементов, выбранных из данного множества, содержащего  различных элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений.

Так, например, наборы (3-элементные сочетания, подмножества,  ) {2, 1, 3} и {3, 2, 1} 6-элементного множества {1, 2, 3, 4, 5, 6} ( ) являются одинаковыми (в то время как размещения были бы разными) и состоят из одних и тех же элементов {1,2,3}.

Число сочетаний из   по   равно биномиальному коэффициенту

При фиксированном   производящей функцией последовательности чисел сочетаний  ,  ,  , … является:

Двумерной производящей функцией чисел сочетаний является

3. законом распределения дискретной случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими вероятностями. Про случайную величину говорят, что она подчиняется данному закону распределения.

При табличном способе задания закона распределения первая строка таблицы содержит возможные значения случайной величины (обычно в порядке возрастания), а вторая – соответствующие вероятности (   ):

xi	x1	x2	…	xn
pi	p1	p2	…	pn

Бернулли: Дискретная случайная величина имеет биномиальный закон распределения (закон распределения Бернулли), если она принимает целочисленные неотрицательные значения 0, 1, 2, 3, …, m, …, n  с  вероятностями, вычисляемыми по формуле Бернулли:

xi	0	1	…	m	…	n
pi	qn		…		…	pn

где q=1-p;    - число сочетаний из n элементов по m.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

2. Дифференциальное уравнение первого порядка, содержит:  1) независимую переменную  ; 2) зависимую переменную   (функцию); 3) первую производную функции:  .

В некоторых случаях в уравнении первого порядка может отсутствовать «икс» или (и) «игрек» – важно чтобы в ДУ была первая производная  , и не было производных высших порядков –  ,   и т.д.

Что значит решить дифференциальное уравнение? Решить дифференциальное уравнение – это значит, найти множество функций  , которые удовлетворяют данному уравнению. Такое множество функций называется общим решением дифференциального уравнения.

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение 

Полный боекомплект. С чего начать решение любого дифференциального уравнения первого порядка?

В первую очередь нужно переписать производную немного в другом виде. Вспоминаем громоздкое обозначение производной:  . Такое обозначение производной многим из вас наверняка казалось нелепым и ненужным, но в диффурах рулит именно оно!

Итак, на первом этапе переписываем производную в нужном нам виде:

На втором этапе всегда смотрим, нельзя ли разделить переменные? Что значит разделить переменные? Грубо говоря, в левой части нам нужно оставить только «игреки», а в правой части организовать только «иксы». Разделение переменных выполняется с помощью «школьных» манипуляций: вынесение за скобки, перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, перенос множителей из части в часть по правилу пропорции и т.п.

Дифференциалы   и   – это полноправные множители и активные участники боевых действий. В рассматриваемом примере переменные легко разделяются перекидыванием множителей по правилу пропорции:

Переменные разделены. В левой части – только «игреки», в правой части – только «иксы».

Следующий этап – интегрирование дифференциального уравнения. Всё просто, навешиваем интегралы на обе части:

Разумеется, интегралы нужно взять. В данном случае они табличные: Как мы помним, к любой первообразной приписывается константа. Здесь два интеграла, но константу   достаточно записать один раз. Почти всегда её приписывают в правой части.

Строго говоря, после того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решенным. Единственное, у нас «игрек» не выражен через «икс», то есть решение представлено в неявном виде.  Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения. То есть,   – это общий интеграл.

Теперь нужно попробовать найти общее решение, то есть попытаться представить функцию в явном виде.

Пожалуйста, запомните первый технический приём, он очень распространен и часто применяется в практических заданиях. Когда в правой части после интегрирования появляется логарифм, то константу почти всегда целесообразно записать тоже под логарифмом.

То есть, вместо записи   обычно пишут  .

Здесь   – это такая же полноценная константа, как и  . Зачем это нужно? А для того, чтобы легче было выразить «игрек». Используем школьное свойство логарифмов:  . В данном случае:

Теперь логарифмы и модули можно с чистой совестью убрать с обеих частей:

Функция представлена в явном виде. Это и есть общее решение.

Множество функций   является общим решением дифференциального уравнения  .

Частным решением дифференциального уравнения на интервале   называется каждая функция  , которая при подстановке в уравнение вида

обращает его в верное тождество на интервале  .

Интегральной кривой называется график решения геометрически неопределённого интеграла (первообразной), представляющего собой семейство «параллельных» кривых  , где каждому числу С соответствует определенная кривая семейства. График каждой кривой и называется интегральной кривой.