Особливі розв’язки

Визначення. Розв’язок диференціального рівняння, в кожній точці якого порушена єдиність розв’язку задачі Коші, називається особливим розв’язком.

Очевидно, особливі розв’язки треба шукати в тих точках області , де порушені умови теореми про існування й єдиність розв’язку задачі Коші. Але, оскільки умови теореми носять достатній характер, то їхнє не виконання для існування особливих розв’язків, носить необхідний характер. І точки області , у яких порушені умови теореми про існування та єдиність розв’язку диференціального рівняння, є лише "підозрілими" на особливі розв’язки.

Розглянемо рівняння

.

Неперервність в області звичайно виконується, і особливі розв’язки варто шукати там, де .

Для диференціального рівняння, не розв’язаного відносно похідної

, умови неперервності й обмеженості звичайно виконуються. І особливі розв’язки варто шукати там, де задовольняються рівняння:

,

.

Вилучаючи із системи , одержимо . Однак не в кожній точці , у якій , порушується єдиність розв’язку, тому що умови теореми мають лише достатній характер і не є необхідними. Якщо ж яка-небудь гілка кривої є інтегральною кривою, то називається особливим розв’язком.

Таким чином, для знаходження особливого розв’язку рівняння треба

1) знайти - дискримінантну криву, обумовлену рівняннями , .

2) з'ясувати шляхом підстановки - є чи серед гілок - дискримінантної кривої інтегральні криві;

3) чи порушена умова одиничності в точках цих кривих.

15 . Інтерполяційні поліноми.

Пусть в точках х0, х1, ..., хn таких, что а < х₀ < ..<хn <b, известны значения функции у =f(x), т.е. на отрезке [а, b] задана табличная (сеточная) функция

Функция φ(х) называется интерполирующей или интер­поляционной для f(х) на [а,b], если ее значения φ(х₀), φ(х₁),..., φ(х_n) в заданных точках х₀,x₁,..., х_n, называемых узлами интерполяции, совпадают с заданными значениями функции f(x), т.е. с y₀,y₁,..., у_n соответственно.

Тогда задача интерполяции формулируется так:

для функции f(х), заданной таблицей (1.2), найти многочлен Р_n(х) такой, что выполняется совокупность условий интерполяции

Будем строить многочлен п-й степени L_n(х) в виде линей-

ной комбинации многочленов п-й же степени l_i(x) (i = 0,1,..., n). Для того, чтобы такой многочлен был интерполяционным для функции f(х), достаточно зафиксировать в качестве коэффициентов с, этой линейной комбинации заданные в табл.1.2 значения у_i = f(x_i), а от базисных многочленов l_i(x) потребовать выполнения условия

В таком случае для многочлена

в каждом узле х_j (jє {0,1,..., п}), в силу (1.5), справедливо

т.е. выполняются условия интерполяции (1.3).

Чтобы конкретизировать базисные многочлены l_i(х), учтем, что они должны удовлетворять условиям (1.5). Равенство нулю i-го многочлена во всех узлах, кроме i-го, означает, что l_i(x) можно записать в виде

а коэффициент A_i, этого представления легко получается из со­держащегося в (1.5) требования l_i(x_i) = 1. Подставляя в выраже­ние l_i(x) значение х = х_i и приравнивая результат единице, по­лучаем

Таким образом, базисные многочлены Лагранжа имеют вид

а искомый интерполяционный многочлен Лагранжа есть

Заметим, что числитель, фигурирующий в записи i-го слагаемого L_п(х) дроби, представляет собой произведение разностей между переменной х и всеми узлами, кроме i -го, а знаменатель — произведение разностей между i-м узлом и всеми остальными.

В качестве примера запишем интерполяционные многочле­ны Лагранжа первой степени.

При п = 1 информация об интерполируемой функции у = f(х) сосредоточена в двух точках: (х₀',у₀) и (х₁;y₁). Многочлен Лагранжа в этом случае составляется с помощью двух базисных многочленов первой степени (lо(х) и l₁(x))и имеет вид

Покажем его единственность (от противного). Предположим, что наряду с L_n(х) имеется другой многочлен n-и степени Q_n(х), решающий ту же задачу интерполяции, т.е. удовлетворяющий условиям интерполяции типа (1.3):

Образуем новый многочлен как разность между L_n(х) и Q_n(x). Этот многочлен Р_п(х):= L_n(х)- Q_n(x) имеет степень не выше п и во всех п+1 узлах х0, х1,..., х_п обращается в нуль, в силу ра­венства значений Q_n(x_i). и L_n(х_i) одним и тем же числам у_i. Получается, что точки хо, х1,...,хn служат корнями многочлена Р_n(х). Но по следствию из основной теоремы алгебры многочленов Р_п(х) не может иметь более п корней. Полученное противоречие означает, что многочлены Q_n(x) и L_n(х) должны полностью совпадать, т.е. по заданным п+1 значению функции можно построить единственный интерполяционный многочлен.

Пусть для данной функции f(х) интерполяционный много­член L_n(х) построен, т.е. для приближенного представления функции f(х) на отрезке [а, b]э[хо,x_n,] применяется интерполяционная формула

Максимальная погрешность интерполирования на отрезке [а, b] оценивается величиной

Предположим, что х₀, х₁, …, х_N – N –1 различных чисел, принимающих значения на интервале [а; b]. Существует единственный полином P_N(x) не более чем степени N, обладающий следующим свойством:

f(x_j) = P_N(х_j) для j = 0,1, ..., N.

Форма Ньютона этого полинома имеет вид

1. P_N(x) = a₀ + a₁(x – x₀) + … + a_N(x – x₀)(x – х₁) … (x – x_{N –1}),

где а_k = f[х₀, х₁, …, х_k], для k = 0, 1, ..., N.

Замечание. Если – множество точек с различными абсциссами, то значения f(x_j) = у_j можно использовать для построения единственного полинома степени ≤N, который проходит через N +1 точку.

Метод найменших квадратів

Пусть — совокупность N точек с различными абсциссами {х_k}. Линия построенная, методом наименьших квадратов у = f(x) = Ах + В, – это линия, которая минимизирует среднеквадратичную ошибку Е₂( f ).

Величина Е₂( f ) будет минимальной тогда и только тогда, когда будет мини­маль­ной величина N(Е₂( f ))² = . Ниже будет показано геометрически, как выглядит минимизация суммы квадратов расстояний по вер­тикали от точек до линии. Следующий результат объясняет этот процесс.

Рис. 5.2. Расстояния по верти­кали между точками {(х_k, у_k)} и линией, построенной методом наименьших квадратов, у = Ах+В

Теорема 5.1 (линия, построенная методом наименьших квадратов). Предпо­ложим, что – N точек с различными абсциссами Коэффи­циенты линии, построенной методом наименьших квадратов,

у = Ах+ В,

являются решениями следующей системы линейных уравнений, известной под названием нормальные уравнения:

2. 

Доказательство. Выполним доказательство геометрически. Начнем с линии у = Ах + В. Расстояние по вертикали d_k от точки (х_k, у_k) до точки (х_k; Ах_k + В) на линии равно d_k = |Ax_k + В – у_k| (рис. 5.2). Нужно минимизировать сумму квадратов расстояний по вертикали d_k:

3. Е(А,В) =

Минимальная величина Е(А, В) определяется, если положить частные произ­водные дЕ/дА и дЕ/дВ равными нулю и решить эти уравнения относительно А и В. Заметим, что {x_k} и {у_k} – постоянные в уравнении (11) и что А и В – переменные! Зафиксируем В, а затем продифференцируем Е(А, В) по А и получим

4. 

Зафиксируем А и продифференцируем Е(А, В) по В. Получим

5. 

Положим частные производные равными нулю в (12) и (13) и воспользуемся свойством дистрибутивности суммы, чтобы получить

6. 

7. 

Уравнения (14) и (15) можно привести к стандартному виду систем и получить нормальные уравнения (10). Решаются такие системы уравнений с помощью той же техники, что и для решения систем линейных уравнений в главе 3. Тем не менее, метод, примененный в программе 5.1, преобразует исходные точки таким образом, чтобы матрица была хорошо обусловлена (см. упражнения).