І. Якщо рівняння має n різних коренів , то загальний розв’язок рр (6) має вигляд Частинні розв’язки будуть лінійно незалежні, так як визначник Вронького

є визначником Вандермонда і відрізняється від нуля при .

6 27 Методи розвязання систем лінійних алгебраїчних рівнянь (метод Гауса).

Розглянемо систему n лінійних алгебраїчних рівнянь відносно n невідомих x₁,x₂,…,x_n:

(1)

Ця система в “згорнутому” виді може бути записана так:

Відповідно до правила множення матриць розглянута система лінійних алгебраїчних рівнянь може бути записана в матричному виді Ax=b, де

. Матриця А, стовпцями якої є коефіцієнти при відповідних невідомих. Матриця-стовпець х є рішенням системи.

Якщо матриця системи невырождена, то в неї існує зворотна матриця і тоді рішення системи легко одержати, помноживши обидві частини рівняння Ax=b ліворуч на матрицю А^-1(Ах)=А^-1b, а оскільки А^-1А=Е и Ех=х, те х=А^-1b.

Метод Гаусса- точний метод рішення невырожденной СЛАР. Він полягає в тому, що систему n ЛАР відносно n невідомих x₁,x₂,…,x_n(1)приводять послідовним виключенням невідомих до еквівалентної системи з трикутною матрицею:

, рішення якої знаходять по рекуррентным формулах:

У матричному записі це означає, що спочатку елементарними операціями над рядками приводять розширену матрицю системи до східчастого виду:

, а потім цю східчасту матрицю перетворять так, щоб у перших n стовпцях вийшла одинична матриця:

. Останній (n+1)-й стовпець цієї матриці містить рішення системи.

8 10 Алгоритм ортогоналізації Грамма-Шмидта.

Скалярним добутком у дійсному лінійному просторі Н називається дійсна функція (х,у), визначена для кожної пари елементів х,у ( Н и задовольняє наступним умовам:

1.(х,х)0 и (х,х)=0;

2.(х,у)=(у,х);

3. (х,у)= (х,у) для любогоR;

4.(х+у,z)=(x,z)+(y,z)

Наявність у Н скалярного добутку дозволяє ввести в цьому просторі не тільки норму(довжину) вектора, але і кут між векторами. Кут між ненульовими елементами х і у евклідового простору називається кут , взятий між 0 і , такий, що

Якщо (х,у)=0, то =/2; при цьому вектори х і у називаються ортогональними(ху).

Визначником Грама елементів х₁,…,х_n називається визначник:

Для лінійної незалежності векторів х₁,…,х_n необхідно і досить, щоб їхній визначник Грама був відмінний від нуля. Визначник Грама лінійно незалежних векторів завжди позитивний.

Система елементів ₁,₂,…,_n в евклідовому(унітарному) просторі називається ортонормальной якщо (_i,_j)=0, при і не дорівнює j та ортонормованой якщо

Розглянемо алгоритм ортогоналізації Грамма-Шмідта. Перейдемо від послідовності до ортонормованої послідовності :

13 20 25

Диференціальні рівняння — розділ математики, який вивчає теорію та способи розв'язування рівнянь, що містять шукану функцію та її похідні різних порядків одного аргументу (звичайні диференціальні) чи кількох аргументів (диференціальні рівняння в частинних похідних). Диференціальні рівняння широко використовуються на практиці, зокрема для опису перехідних процесів.

Теорія диференціальних рівнянь — розділ математики, що займається вивченням диференціальних рівнянь і пов'язаних з ними задач. Їх результати застосовуються в багатьох природничих науках, особливо широко — у фізиці.

Простіше кажучи, диференціальне рівняння — це рівняння, в якому невідомою величиною є деяка функція. При цьому, в самому рівнянні бере участь не тільки невідома функція, але й різні її похідні. Диференціальним рівнянням описується зв'язок між невідомою функцією та її похідними. Такі зв'язки віднаходяться в різних областях знань: у механіці, фізиці, хімії, біології, економіці та ін.

Розрізняють звичайні диференціальні рівняння і диференціальні рівняння з частинними похідними. Більш складними є інтегро-диференціальні рівняння.

Спочатку диференціальні рівняння виникли із задач механіки, в яких брали участь координати тіл, їх швидкості та прискорення, розглянуті як функції від часу.

Диференційне рівняння називається інтегровним в квадратурах, якщо задачу знаходження усіх розв`язків можна звести до обчислення скінченного числа інтегралів від відомих функцій і простих алгебраїчних операцій.