3 9 14 26 28 Операційний метод розв’язування лінійних диференціальних рівнянь і їх систем

Нехай потрібно знайти правильне розв'язування лінійного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами

(17.3.1) задовольняюче початковим умовам

де - задані числа.

Будемо вважати, що шукана функція разом з її розглянутими похідними і функція є оригіналами.

Нехай і Користаючись властивостями диференціювання оригіналу і лінійності, перейдемо в рівнянні (17.3.1) від оригіналів до зображень:

Отримане рівняння називають операторним (чи рівнянням у зображеннях). Розв'яжемо його відносно :

тобто де і - алгебраїчні багаточлени від степеня і відповідно.

З останнього рівняння знаходимо

(17.3.2)

Отриману рівність називають операторним розв’язуванням диференціального рівняння (17.3.1). Воно має більш простий вигляд, якщо всі початкові умови дорівнюють нулю, тобто В цьому випадку

Знаходячи оригінал , що відповідає знайденому зображенню (17.3.2), отримаємо, у силу теореми одиничності, частка Розв'язування диференціального рівняння (17.3.1).

Зауваження. Отримане Розв'язування у багатьох випадках виявляється справедливим при всіх значеннях t (а не тільки при ).

Приклад 17.3.1. Вирішити операційним методом диференціальне рівняння при умовах

○ Нехай . Тоді

і .

Підставляючи ці вираження в диференціальне рівняння, отримаємо операторне рівняння: звідси

Знаходимо . Можна розбити дріб на суму але так як корені знаменника прості, то зручно скористатися другою теоремою розкладання

(формула (17.2.1)), у якій

Отримаємо:

.4

Лінійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами

Означення. Лінійним різницевим рівнянням n-го порядку називається рівняння

(1)

де - сталі коефіцієнти. Якщо виразимо оператори різниць через оператор зсуву S, то можемо записати різницеве рівняння в рівнозначній формі

(2)

Число n називається порядком різницевого рівняння. Це рівняння можна також записати в операторній формі

(3)

Якщо , то різницеве рівняння називається однорідним, якщо , то рівняння називається неоднорідним.

Нагадаємо, що оператор зсуву S

(4)

Далі, замість слів “різницеве рівняння” будемо використовувати позначення РР. Для однозначного визначення розв’язків РР достатньо задати початкові умови

(5)

Означення. Розв’язком РР (2) називається послідовність (k=0, 1, 2,...), яка при підстановці її в РР (2) перетворює його в тотожність.

Приклад. Покажемо, що послідовність є розв’язком РР . Підставляючи значення , в РР, одержимо тотожність

2. Однорідні різницеві рівняння Наведемо деякі властивості розв’язків однорідного рр

(6)

1. Якщо РР (6) має частинні розв’язки , то воно має також розв’язок

2. Якщо РР (6) має два розв’язки то воно має також розв’язок Звідси маємо, що РР має розв’язок:

Означення: Розв’язок РР (6) при .

(7)

називають загальним, якщо за рахунок вибору довільних сталих С₁, С₂,..., С_n можна задовольнити довільні початкові умови (6).

Якщо (7) загальне рішення РР (7), то система лінійних алгебраїчних алгебраїчних рівнянь

Завжди має розв’язок відносно сталих С₁, С₂, ..., С_n.

Означення. Визначник

(8)

називається визначником Вронського.

Замінюючи k на k+1 у визначнику (8), одержимо рівняння для значника Вронського

Л. Ейлер запропонував загальний метод розв’язання РР (6). Розглянемо спочатку РР першого порядку .

З рівняння при k=0, 1, 2... одержимо рівняння

Виходячи з цього, РР (6) має частинний розв’язок.

Розв’язок обмежено при , прямує до нуля при , якщо необмежено зростає по модулю при

Л. Ейлер запропонував шукати розв’язок РР (6) у вигляді Число μ називається мультиплікатором розв’язків РР (6).

Оскільки справедлива рівність , то для визначення мультиплікаторів одержимо алгебраїчні рівняння

або

Це рівняння називається мультиплікаторним або характеристичним.