1. 11 12 29 Форма Коши

Зада́ча Коши́ — одна из основных задач теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными); состоит в нахождении решения (интеграла) дифференциального уравнения, удовлетворяющего так называемым начальным условиям (начальным данным).

Задача Коши обычно возникает при анализе процессов, определяемых дифференциальным законом и начальным состоянием, математическим выражением которых и являются уравнение и начальное условие (откуда терминология и выбор обозначений: начальные данные задаются при t = 0, а решение отыскивается при t > 0).

От краевых задач задача Коши отличается тем, что область, в которой должно быть определено искомое решение, здесь заранее не указывается. Тем не менее, задачу Коши можно рассматривать как одну из краевых задач.

Говорят, что задача Коши имеет единственное решение, если она имеет решение y = f(x) и никакое другое решение не отвечает интегральной кривой, которая в сколь угодно малой выколотой окрестности точки (x₀,y₀) имеет поле направлений, совпадающее с полем направлений y = f(x). Точка (x₀,y₀) задаёт начальные условия.

 ОДУ n-го порядка, разрешённая относительно старшей производной

Свойства

 Теорема (о единственности решения).

Пусть , пускай также — решение задачи Коши (1), определённые на отрезке , причём , тогда на всём [x₁,x₂].

Теорема носит глобальный характер: решения совпадают везде, где существуют.

 Теорема (о существовании).

Пусть , пускай также , тогда , зависящее от x₀,y₀,D,f такое, что — решение задачи Коши (1), определённое на отрезке [x₀ − h,x₀ + h].

Теорема носит локальный характер: решение существует лишь в небольшой окрестности x₀.

Матричний метод розвязання неоднорідної системи лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами.

Система уравнений

Где f(t) – заданная непрерывная на [a,b] вектор-функция, х- векторное решение системы, А - n n матрица постоянных коэффициентов, называется неоднородной системой дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами.

Начальная задача(задача Коши):

,(х(0)=х₀, t[0,T])

Общее решение заданной системы равно сумме её частного решения х_одн(t) и общего решения соответствующей однородной системы (1)

(2)

Совокупность решений однородной системы диф.ур-й имеет вид: где С – вектор произвольных постоянных.

Запишем систему (1) в виде: (3). Сделаем преобразование подобия для данной системы используя следующее свойство: _, (4) где Х - собственный базис матрицы А, D – диагональная матрица, на диагоналях которой расположены собственные значения матрицы А. Тогда система (3) будет иметь вид: (5). Сделаем подстановку: _. Тогда

Подставив полученное выражение в (5) имеем: Умножим обе части уравнения на Х^-1 слева. Тогда:

Следовательно :

Тогда можно записать



Где q_к- постоянная, q – вектор произвольных постоянных.

Так как _, то (6) где С =Хq.

Используя свойство (4) получим:

Тогда уравнение (6) примет вид:

Из начальных условий найдём С:

Окончательно запишем общее решение неоднородной системы линейных диф.ур-й с постоянными коэффициентами:

.

Частное решение запишем в виде , где F(t)- матричная функция.

Представим неоднородную систему в виде:

Тогда:

Следовательно частное решение заданной системы имеет вид:

Матричное неоднородное уравнение 1-го порядка имеет решение вида:

(7)

Где е^Аt- матричная экспонента, е^Аtх₀ - решение однородного уравнения, т.е. матрица n n, зависящая от t.

Определим е^Аt в окрестности точки t=0

1. е^Аt

2)AX=XD,

Так как е^Аt и А имеют общий собственный базис, т.е. (8)

Так как D диагональная матрица, то е^Dt - тоже диагональная матрица, тогда (9). Подставив (9) в (8) получим выражение для е^Аt.