5. 3.1.5. Динамические свойства

Полученная в предыдущем параграфе система уравнений (3.1) может быть использована для описания динамических режимов процесса электромеханического преобразования энергии в асинхронном двигателе. Однако, как отмечалось, она является существенно нелинейной и даже после преобразований на ее основе получаются громоздкие, неудобные уравнения. Для практического применения используют упрощенные линеаризованные уравнения математической модели АД, которые получают путем преобразования системы уравнений (3.1), дополнив ее уравнением движения (1.14) и воспользовавшись известными методами линеаризации при малых отклонениях координат относительно точки установившегося режима. Работа эта довольно трудоемкая, требующая ряда дополнительных преобразований и упрощений, поэтому, опуская промежуточные преобразования, сразу представим упрощенную линеаризованную структурную схему двигателя, работающего на рабочем участке механической характеристики, при управлении частотой – рис. 3.10, где обозначено

(3.32)

β=2M_к/(ω_0номs_к),   T_э=1/(ω_0номs_к).

Рис. 3.10. Структурная схема динамической модели асинхронного двигателя при частотном управлении

Сравнивая (рис. 2.10) и (рис. 3.10), можно отметить, что при частотном управлении асинхронный двигатель, как динамическая система, является полным аналогом коллекторного двигателя независимого возбуждения при якорном управлении, и все уравнения и выводы о характере переходных процессов для коллекторного двигателя справедливы и в данном случае, но при других значениях коэффициентов. Например, передаточные функции по управлению и возмущению соответственно имеют вид (2.45.а) и (2.47.а), если в них принять

k_ω=1,   k_m≈ω₁/M₁,   T_я=T_э,   T_м=J/β,

где ω₁,M₁ – соответственно скорость и момент в точке, относительно которой рассматриваются отклонения.

2. 3.2. Электромеханические свойства синхронных двигателей

Синхронные двигатели по конструктивному исполнению ротора делятся на два типа: с явно- и неявновыраженными полюсами, а по типу возбуждения ротора – с электромагнитным и магнитоэлектрическим возбуждением. В последнем случае ротор выполняется неявнополюсным, а его возбуждение осуществляется от постоянного магнита. Двигатели с постоянными магнитами находят наибольшее применение в приводах систем автоматики мощностью до нескольких киловатт, как будет показано ниже, на основе таких машин строятся находящие все большее применение вентильные двигатели постоянного тока малой мощности.

1. 3.2.1. Математическое описание процессов преобразования энергии в синхронных машинах

Простейшую модель синхронной машины можно получить из модели обобщенной машины, еслиω_р=ω_с. Синхронные машины имеют на роторе демпферную обмотку и обмотку возбуждения. Поэтому синхронную машину без учета вихревых токов необходимо рассматривать как машину с одной обмоткой на статоре и двумя обмотками на роторе. Чтобы в уравнениях напряжений было меньше членов, содержащих ЭДС вращения, удобнее рассматривать обращенную машину с вращающейся обмоткой якоря (рис. 3.11), где обозначено: w_f – обмотка возбуждения ротора;w_дd,w_дq – демпферная обмотка по осям d и q; w_d,w_q – обмотка статора по тем же осям. Процессы электромеханического преобразования энергии происходят в воздушном зазоре, поэтому они не изменяются от того, вращаются или неподвижны обмотки. Важно относительное перемещение обмоток.

При составлении уравнений синхронной машины удобно описывать их в системе координат d иq, связанных с обмотками ротора. Наблюдатель, располагаясь на роторе машины, «видит» в воздушном зазоре неподвижное относительно ротора магнитное поле, созданное переменными токами обмоток статора. Картина не изменится, если остановить ротор и магнитное поле. Чтобы в заторможенной машине токи остались теми же, что и во вращающейся, надо ввести ЭДС вращения в обмотки якоря, частоту токов сделать равной нулю. Система координат d и q удобна тем, что моделирование осуществляется на постоянном токе.

В этом случае мы имеем систему уравнений напряжений:

(3.33)

где r_а – активное сопротивление обмотки якоря; r_f – активное сопротивление обмотки возбуждения; r_дd,r_дq – активное сопротивление демпферной обмотки по осям d и q; i_дd,i_дq – токи в демпферной обмотке по продольной и поперечной осям машины; ω_р – угловая скорость вращения ротора.

Рис. 3.11. Модель обращенной синхронной машины

Потокосцепления обмоток в (3.39) определяются выражениями

(3.34)

Здесь L_d,L_q – индуктивности обмотки якоря по продольной и поперечной осям машины; L_f– индуктивность обмотки возбуждения; L_дd,L_дq – индуктивность демпферной обмотки по продольной и поперечной осям машины; M_аd,M_аq – взаимные индуктивности между обмотками по продольной и поперечной оси.

Электромагнитный момент через потокосцепления определяется выражением

(3.35)

M=Ψ_di_d−Ψ_qi_q.

Так как влияние демпферной обмотки проявляется только в переходных режимах, для упрощения предположим, что она отсутствует. С учетом этого, подставив в уравнения (3.33) потокосцепления из (3.34), получим

(3.36)

B (3.36)

(3.37)

L_d=M_аd+L_σd,   L_q=M_аq+L_σq,   L_f=M_аf+L_σf,

где L_σd,L_σq,L_σf – индуктивности рассеяния соответствующих обмоток.

С учетом (3.36) уравнения (3.37) можно записать следующим образом

(3.38)

Представив ЭДС вращения в продольной и поперечной осях

E_q=L_qi_qω_р,   E_d=L_di_dω_р+M_аdi_fω_р,

получим

(3.39)

Полученные уравнения описывают переходные и установившиеся процессы в синхронной машине без демпферной обмотки.

Чтобы получить из дифференциальных уравнений синхронной машины уравнения для установившегося режима, необходимо в (3.39), так же как это делалось для асинхронных машин, заменить оператор дифференцирования

d/dt↔jω.

Уравнения установившегося режима получат вид

Так как сопротивление по продольной оси

x_d=ωL_σd+ωM_аd

а сопротивление по поперечной оси

x_q=ωL_σq+ωM_аq

получим

(3.40)

Предположим, что возбуждение двигателя осуществляется от постоянных магнитов с направлением потока по оси «d», поэтому имеем

Кроме того, обозначим

(3.41)

где U – действующее значение фазного напряжения, θ – угол сдвига между векторами напряжения и ЭДС. Для упрощения будем считать также, что имеем неявнополюсную машину и поэтомуx_d=x_q=x. Тогда система уравнений (3.40) может быть представлена в виде

(3.42)

Ucosθ=I_dx+I_qr_а+E₀, −Usinθ=I_dr_а−I_qx.

Векторная диаграмма синхронной машины без учета насыщения приведена на рис. 3.12.

Рис. 3.12. Векторная диаграмма синхронной машины без учета насыщения

Решая полученную систему уравнений, найдем

(3.43.а)

I_q=(U(r_аcosθ+xsinθ)−r_аE₀)/(x²+r_а²),

(3.43.б)

I_d=(U(xsinθ−r_аcosθ)−xE₀)/(x²+r_а²).

Согласно (3.35) с учетом принятого допущения

L_d=L_q=L

получим

(3.44)

M=Ψ_di_q−Ψ_qi_d=M_аdi_fi_q.

В последнем выражении первые две составляющие правой части физически представляют потокосцепление поля магнита ротора с обмоткой якоря

(3.45)

M_аdi_f=Ψ_r.

Подставив в (3.44) ток из (3.43.а), а потокосцепление из (3.45), получим выражение для электромагнитного момента синхронной машины с учетом принятых допущений

(3.46)

M=3Ψ_r×(U(r_аcosθ+xsinθ)−r_аE₀)/(x²+r_а²).

Как следует из принципа действия синхронного двигателя, его скорость вращения при увеличении момента на валу до некоторого допустимого значения не меняется, т.е. механическая характеристика представляет собой прямую линию, параллельную оси абсцисс. На изменение момента на валу двигатель реагирует изменением угла θ, который называют углом нагрузки. Зависимость момента от угла нагрузки M_э=f(θ), записанную в виде (3.46) называют угловой моментной характеристикой, которая для двигателя с неявно выраженными полюсами имеет вид (рис. 3.13). Если момент на валу превысит M_мд, то двигатель выходит из синхронизма. Очевидно, что регулирование скорости синхронного двигателя может быть осуществлено только частотным способом. При этом так же, как и у асинхронного двигателя, одновременно с частотой необходимо изменять и напряжение. Закон регулирования напряжения может быть определен полученными для асинхронного двигателя соотношениями (3.29).

Торможение может осуществляться в режиме рекуперации. При этом переход в тормозной режим происходит автоматически по мере изменения момента и соответствующего изменения угла θ. Максимальный момент в тормозном режиме M_мг. Если момент на валу превысит это значение, двигатель также выйдет из синхронизма. Таким образом, рекуперативное торможение может быть реализовано только при синхронной скорости.

Если мы хотим осуществить торможение на скорости, отличной от синхронной, необходимо использовать динамическое торможение, которое может быть осуществлено путем отключения статорной обмотки от сети и включения ее на добавочное сопротивление.

Рис. 3.13. Угловая – моментная характеристика синхронного двигателя

При этом тормозной момент на разных скоростях можно определить по выражению (3.43), принимая напряжение питания двигателя равным нулю, путем интегрирования момента по углу θ на интервале от «0» до «π». При наличии добавочного сопротивления в цепи статора его необходимо прибавить к сопротивлению статорной обмотки. Кроме того, необходимо учесть зависимость от частоты вращения ротора двигателя индуктивного сопротивления обмотки статора. Торможение противовключением в приводе с синхронными двигателями не используется, так как при противовключении двигатель выходит из синхронизма.

Энергетические показатели синхронного двигателя определяются электромагнитным к.п.д.η_э=P_э/P_s и cosφ, где

P_э=Mω.

Мощность, потребляемая двигателем из сети, определяется выражением

P_s=UI_qcosθ−UI_dsinθ.

Подставляя токи из (3.43) и выражая напряжение и ток через их действующие фазные значения, для трехфазного двигателя после преобразования получим

(3.47)