Математические модели в экологии

Основные вопросы, рассматриваемые на лекции:

1. Классификация моделей.

2. Экологическое прогнозирование и мониторинг.

1 Классификация моделей

При экологическом исследовании, которое обычно проводится на определенном количест­ве особей, изучаются природные явления во всем их многообразии: общие закономерности, присущие макросистеме, ее реакции на изме­нения условий существования и др. Но каждая особь, индивидуум неодинаковы, отличны друг от друга. Кроме того, выбор особи из всей популяции носит случайный характер. И лишь применение методов математической статисти­ки дает возможность по случайному набору различных вариантов определить достоверность тех или иных результатов (степень отклонения их от нормы, случайны отклонения или законо­мерны) и получить объективное представление обо всей популяции. Однако, все биологические системы, обладают спо­собностью к саморегуляции и ограничиваться только методами математической статистики стало не­возможно. Поэтому в современной экологии широко применяются методы теории информации и кибернетики, тесно связанные с такими областями математики, как теория вероятности, математическая логика, дифференциальные и интегральные исчисления, теория чисел, матрич­ная алгебра. В последнее время широкое распростране­ние получило моделирование биологических яв­лений, т. е. воспроизведение в искусственных системах различных процессов, свойственных живой природе. Так, в «модельных условиях» были осуществлены многие реакции, протека­ющие в растении при фотосинтезе. Примером биологических моделей может служить и аппа­рат искусственного кровообращения, искусст­венная почка, искусственные легкие, протезы, управляемые биотоками мышц, и др. В различных областях биологии широко при­меняются так называемые живые модели. Не­смотря на то, что различные организмы отлича­ются друг от друга сложностью структуры и функции, многие биологические процессы у них протекают практически одинаково. Поэтому изучать их удобно на более простых существах. Они то и становятся живыми моделями. В каче­стве примера можно привести зоохлореллу, которая служит моделью для изучения обмена веществ; моделью для исследования внутрикле­точных процессов являются гигантские расти­тельные и животные клетки и т. д. Основной задачей биологического модели­рования является экспериментальная проверка гипотез относительно структуры и функции био­логических систем. Сущность этого метода за­ключается в том, что вместе с оригиналом, т. е. с какой-то реальной системой, изучается его искусственно созданное подобие — модель. В сравнении с оригиналом модель обычно уп­рощена, но свойства их сходны. В противном случае полученные результаты могут оказаться недостоверными, не свойственными оригиналу. Т. Г. Гильманов (1980) указывает: «Одно из достоинств метода моделирования состоит в возможности построения моделей с «удобной реализацией», ибо удачный выбор реализации делает исследование модели несравненно бо­лее легким, чем исследование оригинала, и в то же время позволяет сохранить существенные черты его состава, структуры и функционирования». В зависимости от особенностей оригинала и задач исследования применяются самые разнообразные модели (рисунок 1).

Реальные (натурные, аналоговые) моде­ли, если таковые удается создать, отражают самые существенные черты оригинала. Напри­мер, аквариум может служить моделью есте­ственного водоема. Однако создание реальных моделей сопряжено с большими техническими трудностями, так как пока еще не удается до­стичь точного воспроизведения оригинала. Знаковая модель представляет собой условное отображение оригинала с помощью математических выражений или подробного описания. Наибольшее распространение в современ­ных экологических исследованиях получили концептуальные и математические модели и их многочисленные разновидности. Разновидности концептуальных моделей характеризуются подробным описанием системы (научный текст, схема системы, таблицы, графики и т.д.). Математические модели являются более эффективным методом изучения экологических систем, особенно при определении количественных показателей. Математические символы, например, позволяют сжато описать сложные экологические системы, а уравнения дают возможность формально определить взаимодействия различных их компонентов.

Рисунок 1- Классификация моделей (по В. Д. Федорову и Т. Г. Гильманову, 1980)

Процесс перевода физических или биологи­ческих представлений о любой экологической системе в ряд математических зависимостей и операции над ними называются системным анализом, а сама математическая система — моделью. Следует отметить, что математические модели являются неполным абстрактным отображением реального мира.

По типу реализации различаются реальные и знаковые моде­ли. Реальная модель отражает существенные черты оригинала уже по самой природе своей физической реализации. Например, аквариум с его растительностью, животным и микробным населе­нием воспроизводит некоторые черты обитаемых природных во­доемов уже потому, что он сам является населенным водоемом, хотя и значительно меньших размеров. Одна из наиболее слож­ных проблем, с которой приходится сталкиваться при работе с реальными (натурными) моделями, заключается в трудности установления степени адекватности модели оригиналу и, следова­тельно, в обосновании возможности применения результатов мо­делирования к исходной системе-оригиналу. В отличие, например, от аэро- или гидродинамики, где разработаны количественные критерии адекватности моделей (критерий Рейнольдса и т.п.), в результате чего стало возможным успешное применение натур­ных моделей для решения широкого круга научных и конструк­торских задач в указанных областях, при натурном моделирова­нии экосистем вопросы обоснования адекватности еще очень да­леки от удовлетворительного решения. Кроме того, создание и использование натурных моделей экоси­стем связано с известными трудностями технического характера, преодоление которых, из-за отсутствия гарантий адекватности, отнюдь не всегда приводит к решению поставленной задачи.

В отличие от реальной, знаковая модель представляет собой условное описание системы-оригинала с помощью данного алфа­вита символов и операций над символами, и результате чего по­лучаются слова и предложения некоторого языка, которые с по­мощью определенного кода интерпретируются как образы некоторых свойств элементов системы-оригинала и связей между ними. Как отмечает И. А. Полетаев (1966), знаковые модели не­сравненно богаче возможностями, чем реальные, ибо они почти не связаны ограничениями физической реализации.

Наибольшее значение для экологии имеют две разновидности знаковых моделей: это, во-первых, так называемые концептуаль­ные и, во-вторых, математические модели.

Концептуальная модель представляет собой несколько более формализованный и систематизированный вариант традиционного естественнонаучного описания изучаемой экосистемы, состоящей из научного текста, сопровождаемого блок-схемой системы, табли­цами, графиками и прочим иллюстративным материалом. Не­сколько тавтологичный, но широко применяемый термин “концеп­туальная модель” подчеркивает, что назначение этой модели — служить ясным, обобщенным и в то же время достаточно полным выражением знаний и представлений исследователя об изучаемой системе в рамках и средствами определенной научной концепции. Например, в рамках “энергетической” или “биогеохимической” концепции соответствующие концептуальные модели принимают форму блок-схем трофических связей или потоков вещества в экосистеме, которые сопровождаются поясняющим текстовым, табличным и графическим материалом, раскрывающим состав, структуру и некоторые аспекты функционирования экосистемы.

В то же время наряду с такими общеизвестными достоинства­ми концептуальных моделей, как универсальность, гибкость, богатство средств выражения и др., благодаря которым этот метод применяется к самым разным системам, ему свойственны и недо­статки, как, например, высокая неоднозначность интерпретации и известная статичность, затрудняющая описание динамических си­стем.

При количественном изучении динамики экосистем гораздо более эффективны методы математического моделирования.

В качестве примера рассмотрим идеализированную систему, состоящую из одной популяции, которая существует в условиях изобилия корма и при отсутствии врагов и паразитов. Предполо­жим, что в этих условиях прирост популяции пропорционален до­стигнутой численности, причем удельная скорость прироста r за­висит от единственного внешнего фактора — температуры окру­жающей среды, которая на рассматриваемом промежутке времени t₀≤ t≤ t_N считается известной. Чтобы построить математическую модель такой системы, рассмотрим множество V, состоящее из одного элемента — входной функции v(t), задающей динамику температуры окружающей среды при t₀≤ t≤ t_N, а также множе­ство X, тоже состоящее из одного элемента, действительной пере­менной х(t), обозначающей численность популяции в момент вре­мени t. Структуру модели образуют три математических соотно­шения:

(1)

Первое выражает линейную зависимость скорости роста попу­ляции от ее численности с меняющимся во времени коэффициен­том удельного прироста r(t). Второе служит математическим вы­ражением зависимости r от температуры окружающей среды v (функция (v) считается известной). Третье задает начальную численность популяции при t=t₀

Для нахождения функции модели, т. е. разрешающего опера­тора F системы (1), подставим в первое уравнение выраже­ние r через v с помощью функции (v):

(2)

Разделяя переменные:

(3)

и интегрируя от х₀ до х и от t₀ до t соответственно, где х₀=х(t₀) и х=х(t), получаем

ln|x|-ln|х₀|=и(v(t))dt (4)

После потенцирования получаем окончательный результат:

х(t)=х₀exp{ и(v(t))dt} (5)

Таким образом, функционирование модели выражается опера­тором

х(t)=F(v,х₀,t)=х₀exp{ и(v(t))dt} (6)

В зависимости от свойств разрешающего оператора F матема­тические модели динамичных систем классифицируются по раз­ным признакам. Так, если для оператора F найдено точное ана­литическое выражение, позволяющее для любых входных функ­ций и начальных условий непосредственно определять значение переменных состояния x₁,…,x_n в любой нужный момент t, то мо­дель принято называть аналитической. Аналитические модели об­ладают многими благоприятными свойствами, облегчающими их исследование и применение. Однако в подавляющем большинстве случаев нахождение аналитического выражения для разрешаю­щего оператора F оказывается затруднительным или в принци­пе невозможным. Процедуру численного решения этих уравнений на ЭВМ, в результате чего получается реализация оператора F в виде ма­шинной программы, с помощью которой по входным и начальным данным рассчитываются значения переменных состояний x₁(t),…,x_n(t) на интервале t₀≤t≤ t_N. Такие модели называются чис­ленными, или, чаще, имитационными.

В зависимости от степени определенности предсказания траек­тории (x₁(t),…,x_n(t)) оператором F модели делятся на детер­минированные и стохастические (вероятностные). Если в детер­минированной модели значения переменных состояния опреде­ляются однозначно (с точностью до ошибок вычисления) (рис. 2, А), то стохастическая модель для каждой переменной x_i, дает распределение возможных значений, характеризуемое та­кими вероятностными показателями, как математическое ожида­ние М{x_i}, среднее квадратическое отклонение σ(x_i) и т. п. (рис. 2, Б).

Рисунок 2. Детерминированная (А) и стохастическая (Б) модели динами­ки переменной x_i(t).

Для любого момента времени t де­терминированная модель предсказы­вает единственное значение пере­менной x_i(t), а стохастическая мо­дель показывает интервал [x_i(t), x_i(t)], содержащий величину x_i(t) и ее распределение на этом интерва­ле (в частности, математическое ожидание М{x_i(t)}, среднее квадратическое отклонение σ{x_i(t),} и дру­гие статистические показатели).

По характеру временного описания динамики переменных со­стояния x_i(t) различаются дискретные и непрерывные модели. Дис­кретная модель описывает поведение системы на фиксированной последовательности моментов времени t₀<t₁<…<t_i< t_N, тогда как в непрерывной модели значения переменных состояния могут быть рассчитаны для любой точки t рассматриваемого интервала [t_0, t_N]. Среди дискретных выделяются модели с фиксированным шагом по времени Δt= t_i-t_i-1, который не может быть изменен без глубокой перестройки всей мо­дели. Например, в моделях ди­намики популяции организмов с непрерывающимися поколения­ми, сменяющимися только один раз в год, принимается Δt= 1 год (Варли, Градуэлл,Хасселл, 1978). В отличие от них существуют дискретные модели, в которых шаг по времени Δt может неогра­ниченно уменьшаться (в преде­лах возможностей используемой ЭВМ), вследствие чего такие мо­дели по детальности описания временных изменений приближа­ются к непрерывным. В частно­сти, таковы модели, получающи­еся в результате дискретизации непрерывного описания изу­чаемой системы в процессе приближенного численного ре­шения дифференциальных урав­нений.

Следующий важный признак, которому различаются математические модели экосистем, - это характер описания их про­странственного строения. Моде­ли, в которых пространственное строение экосистемы не рассмат­ривается, т. е. в качестве пере­менных состояния фигурируют зависящие только от времени пе­ременные x_i(t),..., n, принято называть моделями с сосредо­точенными значениями (или точечными моделями), в отличие от моделей с распределенными значениями, в которых переменные состояния x_i зависят не только от времени, но и от пространствен­ных координат (одной или нескольких). Например, при модели­ровании водной экосистемы в качестве переменных состояния можно взять усредненные по площади и суммированные по глу­бине значения биомасс популяций, запасов биогенных элементов и т. д., выраженные, например, в граммах под площадью зеркала воды в 1 м² — это будет модель с сосредоточенными значениями (Алексеев, 1975). Если в модели учитывается гетерогенность по глубине (координата z), т. е. x_i=x_i(z,t) то получается (очевид­но, более детальная) модель с распределенными значениями по глубине, но все еще осредненными по плоскости (х, у). При опи­сании мелкого, хорошо перемешиваемого по вертикали, но гете­рогенного по плоскости водоема целесообразно в качестве пере­менных состояния использовать функции вида x_i=x_i(x,y,t). Наконец, вводя все три пространственные координаты x_i=x_i(x,y,z,t), получают модель с пространственно распределен­ными значениями.

Завершая краткое введение в метод моделирования, остано­вимся на некоторых способах визуального представления резуль­татов моделирования. Наиболее часто используется так называе­мый способ развертки во времени, который состоит в построении таблиц или графиков изменения входных переменных и перемен­ных состояния как функций времени t (рисунок 3,A ). При всех его достоинствах этот способ не всегда (особенно при большом числе переменных) дает наглядное представление взаимосвязей между переменными. Поэтому в дополнение к нему нередко ис­пользуется так называемый способ фазовых портретов, когда на график наносится изображение траектории системы в простран­стве состояний (при n=2 или 3) или проекции этой траектории на координатные плоскости (x_i, x_j), образованные различными парами координат при n>3 (рисунок 3, Б). Время присутствует на фазовом портрете неявно, через указание тем или иным спо­собом направления движения изображающей точки вдоль траек­тории (например, с помощью стрелок или отметок времени вдоль траектории). Соотношение способов развертки во времени и фазового портрета поясняет рисунок 3, В).

Рисунок 3 - Представление результатов моделирования способами развертки по времени (А) и фазового портрета (Б), соотношение этих двух способов в случае двухмерного фазового пространства (В).

В качестве примера рассмотрим простейшее дифференциальное уравнение, описывающее рост популяции какого-либо вида:

dх/dt=rх,

где х — плотность популяции в момент времени t; r — истинная скорость роста, принятая постоянной. Решением этого уравнения является функция

х=х₀е^rt,

где х₀ — плотность популяции в момент време­ни t=0.

Следовательно, если проводить наблюдение за большой выборкой особей в течение короткого периода времени Δt, то доля особей, размножившихся в течение этого периода, бу­дет равна rΔt. Значит, возрастной состав попу­ляции не изменяется во времени. Но это спра­ведливо лишь для ограниченного периода вре­мени, так как возрастная структура популяции будет приближаться к устойчивой лишь тогда, когда специфичные для каждой возрастной группы рождаемость и смертность остаются постоянными. Такого состояния популяция мо­жет достичь только при постоянстве условий среды, избытке необходимых ресурсов и отсут­ствии эволюционных процессов (изменений). Но в естественных условиях этого никогда не на­блюдается. Как видно, при отсутствии реальных моделей математический подход становится все более отвлеченным. При исключении же математиче­ского подхода часто бывает трудно уловить общий смысл реальной модели. Вот почему в современной экологии реальные и знаковые модели используются параллельно, дополняя и обогащая друг друга. Первыми математическими моделями про­стейших экологических систем хищник — жер­тва и паразит — хозяин были теоретические разработки В. Вольтерры, сделанные в 1931 г. Они послужили толчком для по­строения более сложных моделей процессов пищевых отношений популяций в биоценозах. С появлением быстродействующих электронно-вычислительных машин возникли возможности моделирования еще более сложных саморегу­лирующихся систем с обратной связью — попу­ляций, биоценозов и биогеоценозов. На основе математического моделирования успешно изучаются микробные популяции и по­пуляции одноклеточных водорослей, выращиваемых в культиваторах, исследуются явления внутривидовой конкуренции и различные фор­мы межвидовых взаимоотношений. Важное ме­сто занимает попытка математического моде­лирования в экологических исследованиях, на­правленных на использование ресурсов при­роды так, чтобы в ней осуществлялось есте­ственное их самовоспроизводство. Для этого нужно не только знать сущность основных вза­имодействий и процессов, протекающих в биогеоценозах, в биосфере в целом, но и с помощью математических методов прогнозиро­вать их хотя бы на ближайшее будущее.

Экологическое прогнозирование и монито­ринг

В современных условиях моделирование занимает основное место в работах по эко­логическому прогнозированию. Как отмечает А. А. Ляпунов, «задачи изучения математиче­ских моделей биогеценозов состоят в том, что­бы сопоставить кинетику явлений, подсказываемую моделью, с той, которая наблюдается в действительности, и, опираясь на это сопостав­ление, довести модель до достаточно хорошего согласия с действительностью. Тогда такие мо­дели станет возможным использовать для прак­тических прогнозов, а также для выбора ра­ционального вмешательства человека в жизнь природы, с тем чтобы обеспечить такое исполь­зование природных ресурсов, при котором бы они должным образом самовоспроизводи­лись». В основу математического моделирования при экологическом прогнозировании положен принцип представления сложной биологической системы в виде отдельных подсистем (блоков, модулей, камер), связанных между собой фун­кциональными связями, имитирующими либо поток веществ (в том числе и загрязняющих), либо регулирующиеся воздействия, либо про­странственные миграции, либо развитие орга­низмов и т. д.

Например, в водной экосистеме выделяются как отдельные подсистемы: рыбы разного воз­раста, разные виды фитопланктона, зоопланк­тона, бентос, донные отложения, поступающие в водоем стоки и т. д. Кроме того, можно выделять и функциональные зависимости: пло­довитость рыб в норме и при определенных воздействиях, например свинца или других ве­ществ; плодовитость и продолжительность жиз­ни фито- и зоопланктона, бентоса; зависимость от температуры среды выклевывания мальков из икры, времени нереста и т. д. При этом экологический прогноз с помощью математиче­ских моделей возможен только при наличии данных о «нулевой точке отсчета», т. е. о не нарушенной природой системе. В последние годы среди прогнозистов широ­ко распространилось понятие «мониторинг», которое было предложено еще в 1920-х гг. по отношению к окружающей среде. Часто за мониторингом признается только наблюдение за состоянием окружающей среды. В более широком смысле в понятие «мониторинг» вклю­чают не только наблюдение, а также контроль и управление состоянием окружающей среды, т. е. то или иное целенаправленное воздействие на нее. Таким образом, мониторинг слагается из двух последовательных этапов: от наблюде­ния до контроля и управления. Ограничение мониторинга наблюдением придает ему лишь пассивное, информационное значение. Задачей современного мониторинга является прогноз. Программа фонового экологического мони­торинга реализуется в биосферных заповедни­ках. Схема фонового мониторинга загрязнения при­родной среды и его экологических последствий четко подразделяется на геохимический, геофизический и биологический мониторинги. Цель биохимического и геофизического мониторингов — получение информации об уров­не загрязнения окружающей среды, об интен­сивности и характере воздействий загрязнения на биологические системы, а также прогнозиро­вание уровней загрязнения биоты в будущем. Цель биологического мониторинга — оценка и прогноз реакции экосистем в ответ на фоно­вые воздействия загрязнителей. В его основу положены разработки математических моде­лей экосистем, которые могли бы служить ин­струментом прогнозов изменения состояния экосистем на фоновом глобальном уровне. Та­кие модели позволяют строить прогнозы о том, когда и под влиянием каких уровней воздействия загрязнителей исчезнут наиболее чувствитель­ные к загрязнениям виды, установить очеред­ность их исчезновения или существенного сни­жения численности популяций в той или иной экосистеме. Примером успешного применения матема­тической модели для прогнозирования является разработанная В. В. Меншуткиным модель ди­намики численности лососевых рыб. Анализ мо­дели на ЭВМ позволил выяснить и понять важнейшие закономерности жизнедеятельности камчатской нерки. На модели был проведен ряд экспериментов. В результате установили, что на нерестилищах нерки наблюдается повы­шенная смертность мальков, а в открытом мо­ре катастрофически возрос промысел лососей. Модель явилась официальным документом при составлении прогноза. Ограничения вылова ло­сосей в открытом море позволили сохранить стадо этих ценных рыб. В настоящее время модели чаще всего используются для решения конкретных сегодняшних задач: применять или не применять пестициды, какую природную среду требуется контролировать в первую очередь, какие антропические нагрузки допустимы и т. д. Хотя все эти сегодняшние проблемы невозможно решать без обоснованного прогноза на далекую перс­пективу.

Лекция № 4

Получение количественной информации и группировка данных

Основные вопросы, рассматриваемые на лекции:

3. Статистические совокупности и количественные признаки.

4. Способы отбора объектов в выборку.

5. Способы получения количественной информации в географических исследованиях.

6. Сущность и виды группировок.

7. Графическая форма распределения величин.

1. Статистические совокупности и количественные признаки. Прежде чем приступить к математико-статистическим расчетам, географ должен иметь в своем распоряжении достаточный объем коли­чественной информации, характеризующей объекты, процессы и явле­ния на определенной территории или в определенном пункте.

Математическая статистика рассматривает множества единиц од­ного и того же вида, называемые статистическими совокупностями. В географических исследованиях ими могут быть ландшафты, геогра­фические зоны, единицы административно-территориального деления, населенные пункты, промышленные предприятия и др.

Отдельные единицы, входящие в состав статистической совокуп­ности, называются ее элементами. Число всех элементов называют объемом совокупности.

Явления географической среды изучаются не только в простран­стве, но и во времени, отсюда элементами статистической совокупности могут быть как территориальные единицы (ландшафты, административ­ные районы, хозяйства), так и временные (года, сезоны, месяцы, дни и т.д.).

Элементы статистической совокупности отличаются друг от друга (варьируют) по количественным признакам, выраженным в числах. Одни и те же элементы статистической совокупности могут иметь не один, а множество количественных признаков, отражающих в цифровой форме те или иные свойства рассматриваемых явлений и показывающих различия между отдельными элементами статистической совокупности.

Так, внутренняя разнородность географических ландшафтов мо­жет выражаться через различия в глубинах залегания кристаллического фундамента, абсолютной высоты земной поверхности, через вариацию климатических показателей (температуры, давления, влажности и т.д.). Административные районы различаются не только по природным усло­виям, но и по ряду экономических показателей - урожайности зерновых, плотности скота, посевным площадям, затратам средств на ту или иную отрасль хозяйства и т.п. Города изучаемой территории могут отличаться по количеству населения, валовой продукции промышленности, по гео­графическому положению (широте и долготе, удаленности от моря, аб­солютной высоте) и другим показателям. К наиболее типичным для гео­графии количественным признакам правомерно отнести показатели местоположения и размеров географических объектов - их географиче­ской широты, долготы, высоты, протяженности, площади.

При изучении динамики явлений в качестве количественных пока­зателей временных единиц часто используют данные об урожайности по годам, климатические характеристики (например, суммы температур за вегетационный период, гидротермический коэффициент, количество осадков), скорости роста оврагов и др.

Последовательное перечисление количественных признаков элементов, отличающихся местоположением, называют пространст­венными рядами. Количественные признаки по годам, месяцам, дням, часам образуют ряды временные.

Таким образом, элементами статистической совокупности являются объекты, подлежащие изучению. Характерной чертой матема­тической статистики является то, что она изучает статистические сово­купности объектов, но не их отдельные элементы.

Процесс получения количественных показателей объектов и явле­ний часто называют статистическими наблюдениями.

Статистические совокупности подразделяются на генеральную и выборочную.

Генеральная совокупность (М) – это вся имеющаяся статистиче­ская совокупность, объединенная какой-либо качественной общностью. В географических исследованиях наиболее распространена территори­альная общность объектов и явлений, заключающаяся в их принадлеж­ности к какому-то географическом) району. Так, например, все насе­ленные пункты России (или только города), все регионы страны (облас­ти, края, районы) являются генеральными совокупностями. Объем генеральной совокупности в географических исследованиях может быть различным – от нескольких единиц до бесконечности. Если изучаемая территория невелика, то количество элементов часто оказывается не­большим. Например, число хозяйств в административном районе значительно меньше, чем в республике, или, тем более, в России. При изу­чении пространственных закономерностей климатических, морфометрических и ряда других явлений наблюдается изменение количествен­ных показателей от места к месту, т.е. любая точка местности имеет определенное числовое значение (среднегодовую или среднемесячную температуру, абсолютную высоту над уровнем моря и другие характери­стики). Каждая точка в этом случае представляет собой элемент стати­стической совокупности, а так как таких точек неограниченное количе­ство, то генеральная совокупность будет бесконечной.

Довольно часто вся генеральная совокупность не изучается из-за недоступности многих объектов для наблюдений или же ввиду трудоем­кости обработки слишком большого количества данных. Например, вряд ли можно найти количественные характеристики всех оврагов ка­кой-либо зоны; обработать же данные о всех городах России (их около 2 тысяч) хотя и можно, но довольно трудно. При большом объеме стати­стического материала обычно используют выборочную совокупность (m), когда по определенной правильно выбранной генеральной совокуп­ности, взятой на основе отбора, судят об этой совокупности в целом. По-видимому, о всех городах России можно судить достаточно правильно, если для исследований будет взята только часть их. Достаточно боль­шой объем выборки и надлежащая организация наблюдений приводят к тому, что результаты выборочного изучения будут близки к результа­там, получаемым при изучении генеральной совокупности.

Основное качество выборочной совокупности, заключающееся в способности заменить всю генеральную совокупность, называется ре­презентативностью выборки.

2. Способы отбора объектов в выборку. Отбор объектов в выборку должен удовлетворять следующему обязательному правилу - каждая единица генеральной совокупности имеет одинаковую возможность быть отобранной. Такое требование исключает субъективизм, предвзятость в исследованиях. Например, для пра­вильной объективной оценки урожайности зерновых в области не следу­ет использовать данные только лучших хозяйств. Изучение лишь крупных оврагов может создать неправильное представление об овраж­ной эрозии на исследуемой территории.

Наиболее часто встречаются следующие виды отбора:

2.1. Случайный повторный отбор, при котором объекты отбира­ются из генеральной совокупности и после изучения возвращаются в нее, так что любой объект может попасть в выборку повторно. Предпо­ложим, на изучаемой территории имеется 2000 хозяйств (М = 2000). Исследователь решил изучать эти хозяйства, выбрав из имеющейся ге­неральной совокупности лишь 30 (n = 30). Каждому хозяйству при­сваивается номер, который записывается в отдельную карточку. Все 2000 карточек тщательно перетасовывают. Выбирают наугад одну кар­точку и записывают номер хозяйства. Затем эту карточку возвращают в колоду, производят повторное перемешивание, после чего берут еще карточку. Таким образом, выбирают все 30 хозяйств, количественные признаки которых надлежит изучать.

2.2. Случайный бесповторный отбор, при котором элементы ста­тистической совокупности отбираются как и в предыдущем случае, с той лишь разницей, что выбранная карточка в колоду не возвращается, так что каждый отобранный объект не может попасть в выборку по­вторно. Это более распространенный способ выборки по сравнению с первым.

2.3. Механический отбор заключается в том, что единицы, подлежащие изучению, берутся через определенный, заранее установ­ленный интервал. Например, из всех оврагов изучаемой территории мо­жет быть выбран каждый пятый или десятый.

2.4. Серийный отбор (или гнездовой) производится путем деле­ния генеральной совокупности на части (серии), после чего внутри ото­бранных серий (гнезд) производится сплошное наблюдение. Так, чтобы не изучать всю территорию, ее разбивают на равные площадки и по од­ному из вышеописанных способов выбирают для последующего сплош­ного обследования несколько площадок. Участки, типичные для изучае­мого географического района, часто называют «ключами».

На практике различные способы отбора могут применяться в соче­тании друг с другом. Географ-исследователь должен уметь выбрать наи­более подходящий способ в зависимости от конкретных условий.

Следует учесть, что часть никогда не может абсолютно точно оха­рактеризовать целое, поэтому характеристики генеральной совокупно­сти будут отличаться от характеристик, полученных по выборочным данным. Точность во многом зависит от объема выборки (n), однако большое количество наблюдений соответственно увеличивает объем измерительных и вычислительных работ.

3. Способы получения количественной информации. Географы могут получать количественные характеристики пред­метов и явлений самыми различными способами. По месту рабочего цикла эти способы подразделяются на полевой, камеральный и лабора­торный.

3.1. Полевой способ обеспечивает исследователя конкретными и свежими данными. Он подразделяется на экспедиционный, стационар­ный и дистанционный.

Объектом экспедиционных исследований являются главным обра­зом те явления, которые заметно изменяются в пространстве и медленно во времени. К ним можно отнести рельеф земной поверхности, геоло­гию, строение почвы, растительность и животный мир.

Гидротермические явления сильно изменяются во времени (по дням, месяцам, годам) и поэтому требуют стационарных наблюдений на метеостанциях, гидропостах и т.д. Физико-географические стационары очень нужны для изучения взаимодействия природных явлений друг с другом и влияния на них антропогенных воздействий.

Современные экспедиции и стационары используют различную измерительную технику: геодезические приборы, анероиды, горные компасы, буры, калориметры, лоты, вертушки, термометры, барометры и т.д. Все они дают в руки исследователя весьма ценный по разнообра­зию и объему количественный материал.

Прогресс человечества немыслим без получения новой информа­ции, которая в большинстве своем заключается в измерениях. Недаром великий русский ученый Д.И. Менделеев назвал измерения воздухом науки.

Возникли проблемы повышения остроты восприятия измеритель­ных приборов, быстроты и дешевизны измерений.

К полевому способу следует отнести дистанционные измерения -измерения «на расстоянии», без непосредственного контакта с самим объектом. Для этого используют различные воспринимающие устройст­ва, способные представить данные о форме, размере, температуре и дру­гих физических и химических свойствах изучаемых объектов. Чаще применяют следующие приборы: гравиметры, магнитометры, аудиомет­ры; приборы, использующие электромагнитные волны. Электромагнит­ные приборы подразделяются на два класса: 1) пассивные, измеряющие падающую и отраженную энергию источника (радиометры и др.); 2) ак­тивные, требующие искусственного облучения объектов исследования волнами особых длин (действующих по принципу радаров). Объекты исследуются облучением электромагнитных волн различных спектров. Инфракрасную тепловую радиацию можно воспринимать в двух окнах спектра днем и ночью, через дымку и туман.

В пределах длинноволнового электромагнитного спектра имеется несколько окон, свободных от атмосферных помех, где возбуждаемая радиация может быть обнаружена высокочувствительными приборами, применяемыми в радиоастрономии (изучаются процессы, происходящие в ледовом, снежном или почвенном покрове, получают данные о влаж­ности почв, плотности посевов, температуре поверхностных вод, тол­щине льда).

Радарные установки воспринимают размеры и очертания объек­тов, их плотность, влажность и другие данные (днем, ночью, в непогоду).

Сфера приложения приборов дистанционного восприятия - изуче­ние энергетических и водньк ресурсов, их морфологии, климата, расти­тельности, почвенного покрова, расселения людей, транспорта, процес­сов урбанизации и т.д.

Важно уметь интерпретировать громадную информацию, полу­чаемую с помощью этих приборов.

3.2. Камеральный способ получения данных предусматривает ис­пользование в кабинетных условиях картографических, аэро- и косми­ческих снимков, литературных, фондовых и архивных материалов,

Следует особо остановиться на роли географических карт в по­лучении количественной информации. Ценность карты заключается в ее способности дать количественную характеристику предметов и явлений, распространенных на больших территориях. Изучением и разработкой методов измерений по картам занимается картометрия - один из важ­нейших разделов картографической науки. По топографическим картам можно получить достаточно точные данные о расстояниях, длинах, площадях, объемах форм земной поверхности, абсолютных и относи­тельных высотах, крутизне склонов. В последнее время в круг своих интересов картометрия стала включать получение количественных ха­рактеристик и не топографического свойства. Поток ценной и разнооб­разной количественной информации значительно возрастает с использо­ванием тематических карт, где объекты и явления изображаются значками, точечным способом, линиями движения, изолиниями, карто­граммами, картодиаграммами и другими способами. Например, по раз­меру значков можно определить количество жителей в населенных пунктах, объем капитальных вложений в строительство, по картам изо­линий - климатические показатели в любом месте, картограмма дает возможность найти количественные показатели валового сбора зерна, картодиаграмма - численность врачей и число коек по отдельным адми­нистративным единицам.

Замечательными источниками разнообразных сведений о Земле являются аэро- и космические снимки. По аэросъемочным материалам с помощью современной фотограмметрической техники географ-исследователь может получить объективные количественные данные о рельефе, растительности, почве. Сопоставление аэроснимков разных лет позволяет определить динамику явлений (например, изменение площа­дей, занятых лесами; рост оврагов).

В экономико-географических исследованиях незаменимым источн­иком получения количественной информации является система государ­ственной отчетности предприятий, акционерных обществ, районов, об­ластей, республик. Эта система охватывает все области хозяйственной и культурной жизни государства.

3.3. Лабораторный способ получения количественных показа­телей весьма перспективен в географии. Воспроизведение природных процессов (например, инфильтрации, смыва и т.д.) в лабораторных ус­ловиях позволяет изолировать изучаемые показатели от второстепенных и случайных процессов, благодаря чему они познаются несравненно глубже. Например, на скорость роста оврагов влияют морфометрические характеристики водосборов, грунт, растительность и ряд других известных и неизвестных факторов, которые в природе сложно взаимосвязаны. Чтобы изучить зависимость овражной эрозии только от угла наклона площади водосбора, в лабораторных условиях на макете (лотке) можно искусственно повышать угол наклона с сохранением остальных факторов на одном количественном уровне. В полевых условиях было бы весьма трудно, а, вернее, невозможно найти овраги с равными усло­виями роста, кроме углов наклона площадей водосбора.

4. Сущность и вид группировок. Математико-статистическая обработка данных часто начинается с группировки, под которой понимают расчленение статистической сово­купности на группы, однородные по какому-либо признаку. Для этого среди всей массы элементов статистической совокупности нужно выде­лить однородные группы, типы и только затем давать им обобщенные характеристики. Так, например, изучая динамику овражной эрозии, можно подразделить овраги по расположению в рельефе на донные, вершинные, склоновые. Затем уже ведется исследование по этим груп­пам. Населенные пункты можно рассматривать не все сразу, а в отдель­ности - городские и сельские.

4.1. Разновидности группировок. В географии важную роль играет группировка по территориаль­ному признаку. Например, те же овраги подразделяются (группируются) по принадлежности к физико-географи-ческим районам, природным зо­нам и т.д. Экономические итоговые сведения обычно даются по сетке административного деления.

Группировка по временному признаку предполагает расчленение временных рядов на интервалы: часы, дни, недели, месяцы, года, деся­тилетия.

Перед математико-статистическими расчетами часто используется группировка по количественному признаку. Разберем пример такой группировки. В таблице 1 даны длины (L) 25 оврагов в метрах.

Таблица 1 – Длины оврагов

n/n	L(м)	n/n	L(м)	n/n	L(м)	n/n	L(м)	n/n	L(м)
1	35	6	52	11	36	16	28	21	45
2	42	7	43	12	48	17	17	22	22
3	38	8	26	13	33	18	59	23	36
4	24	9	39	14	21	19	43	24	41
5	31	10	54	15	37	20	36	25	38

Находим по таблице 1 наибольшее и наименьшее значения изу­чаемого признака (Хmах и Хmin). Оказалось, что самая большая длина ов­рага – 59 м, самая малая – 17м. Этими двумя числами определяется промежуток вариации признака. Делим промежуток на равные интерва­лы, например, на 5. Подсчитываем число оврагов в каждом интервале. Эти числа называются частотами (см. табл. 2).

Таблица 2 – Интервальный ряд распределения

Интервалы длин оврагов	Частоты
10-20	1
20-30	5
30-40	10
40-50	6
50-60	3

Таблица, в которой перечислены интервалы признака и указаны частоты, называется интервальным рядом распределения.

Число интервалов группировки зависит от объема совокупности. Их не должно быть чрезмерно много, так как в каждом интервале тогда окажется слишком мало наблюдений для того, чтобы закономерность проявлялась отчетливо; с другой стороны, и слишком малое число ин­тервалов нежелательно, так как теряются существенные особенности распределения. При числе наблюдений от 100 до 500 рекомендуют де­лить промежуток на 8-16 интервалов.

Можно рекомендовать вычисления длин интервалов (d) по Форму­ле Стерджесса,

На практике лучше руководствоваться таблицей 3.

Таблица 3 – Зависимость числа интервалов группировки (m) от объема совокупности (n)

n	m	n	m
25-40	5-6	100-200	8-12
40-60	6-8	200 - 500	10-15
60-100	7-10

Промежуток вариации признака иногда может делиться не на рав­ные интервалы, особенно тогда, когда в некоторых промежутках малое количество наблюдений.

Группировка количественной информации облегчает дальнейший процесс математико-статистической обработки данных.

5. Графическая форма распределения величин. Наряду с табличной формой отображения распределения величин по группам в математической статистике используется более наглядная графическая форма (гистограмма, полигон распределения и кривая рас­пределения).

Рассмотрим технику построения гистограммы. Строятся оси ко­ординат, По оси абсцисс откладываются границы интервалов, по оси ординат - соответствующие частоты. Высоты столбиков, опирающихся на масштаб интервалов, ограничиваются значениями частот. Получен­ная фигура называется гистограммой распределения. На рисунке 5.1 с помощью гистограммы показано распределение длин оврагов по дан­ным таблицы 3.

Если из середины каждого интервала восстановим ординату до пе­ресечения с частотой и вершины перпендикуляров соединим прямыми линиями, то получим полигон распределения (см. ломаную линию на рисунке 5.2).

Рис. 5.1 – Гистограмма распределения оврагов

Более точное представление о закономерности распределения ста­тистического материала дает третий способ изображения интервальных рядов в виде плавной кривой, называемой кривой распределения. По­строение кривых требует сложных математических расчетов. В географических исследованиях они часто проводятся на глаз плавной кривой по точкам вершин перпендикуляров.

Рис. 5.2 – Полигон и кривая распределения

Таким образом, кривая распределения является сглаженным поли­гоном (см. пунктирную кривую линию на рисунке 5.2), а полигон — сглаженной гистограммой.

Анализ графиков распределения (изучение их максимумов и ми­нимумов, пологих и крутых участков) представляет большой интерес для исследователя.

Из рассмотрения гис­тограммы, полигона распределе­ния и кривой распределения (рис. 5.1 и 5.2) можно заключить, что в изучаемом районе преобладают овраги длиной от 30 до 40 м. Коротких (до 20 м) и длинных (свыше 50 м) оврагов значитель­но меньше.

В экспериментальных ис­следованиях широко распростра­нен сравнительный анализ кри­вых распределения. Географ час­то сравнивает кривые, характери­зующие одни и те же явления на

разных территориях. Например, сопоставляя кривые распределения длин оврагов в нескольких физико-географических районах, можно об­наружить, в каком районе овраги длиннее, в каком короче, сравнить максимальные и минимальные значения длин, найти различия в частоте оврагов одной и той же протяженности. Если кривые окажутся сходны­ми, можно предполагать наличие примерно одинаковых условий овраж­ной эрозии.

Выделим следующие виды распределений в конечном промежутке (а, б). 5.1. Нормальное(«колоколообразное») (рис. 5.3).

Рис. 5.3 – Нормальное распреде­ление

Средние значения количественных признаков встре­чаются чаще, чем малые и боль­шие. Такие распределения харак­терны для количественных показа­телей климата (температуры, осад­ков) по временным интервалам и для биологических особей (разме­ры зерен, рост человека, длина его ступни).

Кроме симметричных кривых распределения, существуют и асимметричные. В географических исследованиях более типичны пока­зательное и равномерное распределения.

2. Показательное (рис. 5.4). Наибольшая частота соответствует наи­меньшему значению признака. С ростом х частота убывает. Примеры:

распределение длин оврагов, людности населенных пунктов и др.

3. Равномерное (рис. 5.5). Частота во всех интервалах примерно одинаковая. Следовательно, кривая здесь становится близкой к прямой.

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Дайте определение следующих терминов и понятий:

1. Статистическая совокупность;

2. Элементы и объем статистической совокупности;

3. Количественные признаки;

4. Пространственные и временные ряды;

5. Статистические наблюдения;

6. Генеральная и выборочная совокупности;

7. Репрезентативность выборки;

8. Случайный повторный отбор;

9. Случайный бесповторный отбор;

10. Механический отбор;

11. Серийный отбор;

12. Полевой способ получения количественной информации;

13. Дистанционные измерения;

14. Камеральный способ получения количественной информации;

15. Лабораторный способ получения количественной информации;

16. Группировка данных по территориальному признаку;

17. Группировка данных по временному признаку;

18. Группировка данных по количественному признаку;

19. Интервальный ряд распределения;

20. Гистограмма;

21. Полигон распределения:

22. Кривая распределения;

23. Нормальное распределение;

24. Показательное распределение;

25. Равномерное распределение;

Лекция № 5