1. Структура оптимизационных задач.

Экономико-математические задачи, цель которых состоит в  нахождении наилучшего (оптимального) с точки зрения некоторого критерия или критериев варианта использования  имеющихся ресурсов (труда, капитала и пр.), называются оптимизационными.

Оптимизационные задачи (ОЗ) решаются с помощью оптимизационных  моделей (ОМ) методами математического  программирования.

Структура оптимизационной  модели состоит из целевой функции, области допустимых решений и  системы ограничений, определяющими  эту область. Целевая функция  в самом общем виде в свою очередь  также состоит из трех элементов:

• управляемых переменных;

• неуправляемых переменных;

• формы функции (вида зависимости между ними).

Область допустимых решений – это область, в пределах которой осуществляется выбор решений. В экономических задачах она  ограничена наличными ресурсами, условиями, которые записываются в виде системы  ограничений, состоящей из уравнений  и неравенств. [2]

Если система  ограничений несовместима, то область  допустимых решений является пустой. Ограничения подразделяются на:                     

а) линейные (I и II) и нелинейные (III и IV)  

б) детерминированные (А,В) и стохастические (группы кривых )  

Стохастические  ограничения являются возможными, вероятностные, случайными.

Оптимизационные задачи решаются методами математического  программирования, которые подразделяются на:

• линейное программирование;

• нелинейное программирование;

• динамическое программирование;

• целочисленное программирование;

• выпуклое программирование;

• исследование операций;

• геометрическое программирование и др.

Главная задача математического программирования – это нахождение экстремума функций  при ограничениях в форме уравнений  и неравенств.

В качестве примера  рассмотрим подробно оптимизационные задачи, решаемые методами линейного программирования.

2. Постановка задачи. Математическая модель злп.

В общем виде задача линейного программирования ставится следующим образом.    

Максимизировать (минимизировать) функцию

                                          (3.1)

при ограничениях

                                       

где x_j,   –управляющие переменные или решения задачи  (3.1)–(3.4); b_j, a_ij,   – параметры, f – целевая функция или критерий эффективности задачи.

Функция (3.1) – линейная, ограничения (3.2)–(3.4) – линейные. Задача содержит п переменных и т ограничений.

Решить задачу линейного программирования  –  это значит найти значения управляющих переменных x_j,   удовлетворяющих ограничениям (3.2)–(3.4), при которых целевая функция (3.1) принимает минимальное или максимальное значение.

В зависимости от вида целевой функции (3.1) и ограничений  (3.2)–(3.4) можно выделить несколько типов задач линейного программирования или линейных моделей: общая линейная задача, транспортная задача, задача о назначениях.

В этой главе рассматривается общая линейная задача.

Приведем пример экономической задачи, сводящейся к линейной модели.

3. Задача линейного программирования (стандартная, каноническая и общая) и ее геометрическая интерпретация.

В произвольной форме линейная математическая модель или задача линейного программирования имеет вид (3.1)–(3.4).

Наиболее распространенный метод ее решения – симплекс-метод. Заметим, что в случае двух переменных область допустимых решений, как правило, представляет собой замкнутый многоугольник (рис. 3.2). Для п переменных областью допустимых решений является многомерный многогранник, подобный симплексу. Оптимальное решение, как правило, это вершина (граничная точка) такого многогранника. Симплекс-метод заключается в последовательном целенаправленном обходе вершин симплекса. В каждой следующей граничной точке симплекса значение целевой функции, в общем случае, улучшается.

Для применения симплекс-метода задачу следует записать в канонической форме:  

                            (3.19)

                          (3.20)

В канонической форме записи все переменные неотрицательны, ограничениями являются уравнения, и требуется найти такие значения x_j,  и, при которых целевая функция имеет максимум.

Переход к канонической форме записи производится с помощью следующих простых действий.

1) Если требуется найти минимум f, то заменяя f на -f переходят к задаче максимизации, так как min(f)= -max(-f).

2) Если ограничение содержит неравенство со знаком  , то от него переходят к равенству, добавляя в левую часть ограничения дополнительную неотрицательную переменную.

3) Если ограничение содержит неравенство со знаком  , то от него переходят к равенству, вычитая из левой части дополнительную неотрицательную переменную.

4) Если в задаче какая-либо из переменных произвольна, то от нее избавляются, заменяя ее разностью двух других неотрицательных переменных. Например, для произвольной переменной x_k, x_k = x’_k-x”_k, где x’_kx”_k ³ 0, x”_k ³ 0.