14. Геометрический смысл основного закона гидростатики.

Ордината z рассматриваемой точки жидкости отсчитывается от произвольной горизонтальной плоскости XOY, принятой в качестве координатной. В гидравлике эту плоскость называют плоскостью сравнения, а отсчитанную от нее координату z точки – геометрической высотой точки или геометрическим напором в данной точке жидкости.

Величина имеет линейную размерность и представляет собой геометрическую высоту, на которую поднимется жидкость под действием давления р. Указанную высоту можно измерить, если подсоединить к сосуду трубку, из которой полностью удален воздух. Жидкость в трубке поднимется на высоту . Если трубка открыта и давление на свободной поверхности равно атмосферному, то жидкость в трубке поднимется на высоту , соответствующую избыточному давлению (рис. 3.1).

Высота соответствует давлению р. Высота называется пьезометрической высотой. Высота, соответствующая давлению р_вак, называется вакуумметрической высотой. Эта высота может быть измерена с помощью простейшего вакуумметра (рис. 3.2).

Сумму высот называют гидростатическим напором Н. Пьезометрический напор Н_п меньше гидростатического напора на высоту, соответствующую атмосферному давлению, .

Отложив от плоскости сравнения по вертикали отрезки для различных точек покоящейся жидкости, обнаружим, что геометрическое место концов таких отрезков будет представлять собой горизонтальную плоскость, расположенную на расстоянии от плоскости сравнения. Такая плоскость называется плоскостью гидростатического напора, а если откладывать отрезки , – то плоскостью пьезометрического напора.

Рис. 3.1. Графическая иллюстрация напоров жидкости в сосуде при р₀р_атм

Рис.3.2. Графическая иллюстрация напоров жидкости в сосуде при р₀<р_атм

15. Методы Лагранжа и Эйлера изучения движения жидкости.

Основные понятия кинематики жидкости (линия тока, трубка тока, жидкая струйка). Два метода изучения движения жидкости. Для удобства исследования любой жидкости объем можно представить состоящим из большого числа жидких частиц. В соответствии с этим к исследованию движения жидкой частицы возможен такой же подход, как и к исследованию движения точки в механике. При этом частицу отождествляют с материальной точкой, рассматриваемой в теоретической механике.

Такой подход получил название метода Лагранжа (рис. 4.1).

В начальный момент времени выделим в жидкости фиксированную частицу с координатами x₀, y₀, z₀. Движение этой частицы известно, если известны законы изменения координат, характеризующих положение частицы с течением времени:

(4.1)

Исключая из этих уравнений время t, получим уравнение траектории, то есть след движения частицы в пространстве. Переменные x₀, y₀, z₀ и t называют переменными Лагранжа.

Проекции скоростей частиц жидкости определяются зависимостями:

,

где – рассматриваются как параметры, а ускорения – зависимостями .

Для описания движения жидкого объема, содержащего N частиц, следует задать соответствующее число систем уравнений типа (4.1), что создает большие математические трудности.

Широкое применение для исследования получил метод Эйлера (рис. 4.2). По этому методу рассматривают поле скоростей в точках пространства, занятого движущейся жидкостью, и исследуют характер изменения скорости в этих точках в зависимости от времени. Под скоростью в точке пространства понимают скорость жидкой частицы, которая в данный момент времени находится в этой точке. Поле скоростей по этому методу создается в виде:

или

,

где – координаты точки пространства, а не жидкой частицы.

Скорость u называется мгновенной местной скоростью. Совокупность мгновенных местных скоростей представляет собой векторное поле, называемое полем скоростей. В общем случае поле скоростей может изменяться во времени и по координатам. Переменные x, y, z, t называют переменными Эйлера.

Как известно, чтобы задать движение твердого тела, необходимо знать скорости трех его точек (не лежащих на одной прямой). Если же нужно задать движение жидкости, то есть тела легко деформируемого, требуется знать скорость во всех точках занимаемого пространства. Число этих точек в пределе стремиться к бесконечности.

Метод Эйлера проще метода Лагранжа, так как в нем используется хорошо разработанный математический аппарат теории поля. Применяя метод Эйлера, который не позволяет учесть индивидуальность каждой частицы, следят за поведением различных частиц, проходящих через фиксированную точку пространства.

С методом Эйлера тесно связано понятие линии тока. Выделим в потоке в фиксированный момент времени ряд точек. Проведем линию, касательные к которой совпадали бы с направлением векторов скорости жидких частиц, находящихся в этих точках. Эта линия называется линией тока (рис. 4.3).

И ными словами линия тока касательная к векторам скоростей. Она соединяет отдельные жидкие частицы в один и тот же момент времени, чем существенно отличается от траектории, представляющей след движения одной частицы.

Траекторией называется путь, проходимый данной частицей жидкости в пространстве за определенный промежуток времени. При установившемся движении форма траекторий не изменяется во время движения. При неустановившемся движении непрерывно изменяются и величины, и направления скорости движения. Траектории движения частиц в этом случае также непрерывно изменяются во времени.

Необходимо иметь в виду различие между траекторией частицы жидкости и линией тока. В то время как траектория относится лишь к одной определенной частице жидкости и показывает путь, проходимый этой частицей в пространстве за некоторый промежуток времени, линия тока связывает между собой различные лежащие на ней частицы и характеризует направление их движения в данный момент времени.

Линии тока соответствуют состоянию поля скоростей в движущейся жидкости в данный момент времени. Если в следующий момент поле скоростей изменится, то изменится и положение линий тока.

Однако в случае установившегося движения, характеризуемого неизменяемостью поля скоростей во времени, частицы жидкости будут следовать вдоль неизменных линий тока; таким образом, линии тока и траектории частиц жидкости совпадают между собой только при установившемся движении. Введем понятие трубки тока. Выделим в жидкости замкнутый контур, не являющийся линией тока. Через каждую точку этого контура проведем линию тока и получим трубчатую поверхность тока – трубку тока. Жидкость, заключенная внутри контура тока, называется жидкой струйкой. В общем случае скорости жидкости по поперечному сечению струйки различны. Элементарной называют жидкую струйку, в которой можно пренебречь изменением скорости по ее поперечному сечению.

16. Расход жидкости, средняя (расходная) скорость

понятие расхода жидкости через поверхность, понимая под ним количество жидкости, протекающее в единицу времени через незамкнутую поверхность. Различают объемный расход Q (размерность ), массовый расход ( ) и весовой расход ( ).Между этими величинами в однородной жидкости существует соотношение: Средняя скорость равна расходу, деленному на площадь живого сечения: .

17.Уравнение неразрывности.

Рассмотрим поток жидкости (рис. 4.7) конечных размеров, ограниченный с боков твердыми стенками . Проведем два произвольных живых сечения и . Расход жидкости через замкнутую поверхность , согласно предыдущим выводам, равен нулю.

Рис. 4.7. Поток жидкости

Считая поток вытекающей жидкости положительным, а втекающей – отрицательным, запишем

и поскольку , то , то есть расход жидкости вдоль потока конечных размеров постоянен.

С учетом введения понятия средних скоростей последнее равенство может быть записано в виде: .

Уравнение неразрывности в такой форме находит широкое применение при исследовании течений жидкости.